Condizioni per spazi di Banach
Sto ragionando e pasticciando con gli spazi di Banach. Ho due domande forse molto simili.
Se (X,d) è uno spazio metrico allora:
1) Se X è compatto lo spazio delle funzioni continue da X in R è di Banach con la norma infinito ($||*||_infty=\s\u\p_{x in X}|*|$). L'ipotesi di compattezza si introduce perchè la norma assuma solo <>. E' strettamente necessaria o può essere sostituita con un'ipotesi più <>? (In tal caso quest'ipotesi oltre a garantire la completezza dovrebbe anche garantire la finitezza della norma).
2) X non più necessariamente compatto. Lo spazio delle funzioni continue e limitate da X in R è di Banach con la norma infinito (come sopra). Anche in questo caso, l'ipotesi di limitatezza è indispensabile o può essere sostituita da una più debole?
Grazie.
Se (X,d) è uno spazio metrico allora:
1) Se X è compatto lo spazio delle funzioni continue da X in R è di Banach con la norma infinito ($||*||_infty=\s\u\p_{x in X}|*|$). L'ipotesi di compattezza si introduce perchè la norma assuma solo <
2) X non più necessariamente compatto. Lo spazio delle funzioni continue e limitate da X in R è di Banach con la norma infinito (come sopra). Anche in questo caso, l'ipotesi di limitatezza è indispensabile o può essere sostituita da una più debole?
Grazie.
Risposte
Mi pare che entrambe le condizioni di partenza siano necessarie per la limitatezza della norma. In particolare nel caso della 2) se vuoi che la norma uniforme sia finita
non puo' che prendere funzioni limitate ...
Nel caso uno invece dovrebbe essere semplice vedere che se l'insieme non e' comaptto si puo' costruire una funzione continua non limitata (prendi una successione $(x_n)$ da cui non si puo' estrarre niente di convergente, intorno a ogni $x_n$ prendi una pallina di raggio piccolo in modo che tutte siano disgiunte e definisci nella pallina $n$-esima la funzione in modo che
si annulli sul bordo (cosi' si raccordano) e valga $n$ in $x_n$).
Non so se volevi qualcosa d'altro
non puo' che prendere funzioni limitate ...
Nel caso uno invece dovrebbe essere semplice vedere che se l'insieme non e' comaptto si puo' costruire una funzione continua non limitata (prendi una successione $(x_n)$ da cui non si puo' estrarre niente di convergente, intorno a ogni $x_n$ prendi una pallina di raggio piccolo in modo che tutte siano disgiunte e definisci nella pallina $n$-esima la funzione in modo che
si annulli sul bordo (cosi' si raccordano) e valga $n$ in $x_n$).
Non so se volevi qualcosa d'altro
In generale se $X$ non è compatto $C_b(X) \subset C(X)$ e però $C_b(X)$ è sicuramente lo spazio "massimo" in cui abbia senso $||\cdot||_oo$ come norma.
Quindi stai chiedendo di determinare delle condizioni su $X$ in modo che, alla fin fine, risulti $C_b(X)=C(X)$.
Quindi stai chiedendo di determinare delle condizioni su $X$ in modo che, alla fin fine, risulti $C_b(X)=C(X)$.
Mi sono accorto di aver letto male la domanda 2).
In realta' $B(X)={f: X\to RR, f " limitata"}$ e' un Banach con la norma uniforme.
In realta' $B(X)={f: X\to RR, f " limitata"}$ e' un Banach con la norma uniforme.
Ottimo, avete risposto anche alla domanda successiva (divinazione? 
) che avrei fatto ovvero cosa succede se lascio la limitatezza e dimentico la continuità. Ora provo a verificarlo. Grazie a entrambi.
) che avrei fatto ovvero cosa succede se lascio la limitatezza e dimentico la continuità. Ora provo a verificarlo. Grazie a entrambi.
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