Condizioni per l'integrabilità secondo Lebesgue
ciao a tutti 
ho dei dubbi su alcuni esercizi che mi chiedono di verificare se una funzione sia integrabile o meno secondo lebesgue su un dato intevallo. Riporto dapprima la traccia di un esercizio seguitoda un approccio generale su come affronterei problemi di questo tipo:
-Ese1:
per la risoluzione procederei nel seguente modo
1) verifico se l'intevallo su cui si voglia calcolare la funzione sia Lebesgue misurabile
2) verifico se la funzione è lebesgue misurabile su tale intevallo
3) verifico se sia possibile integrare secondo lebesgue
i miei dubbi sono i seguenti:
-come faccio a verificare se l'insieme sul quale vogliamo calcolare l'integrale e la funzione siano Lebesgue misurabili o meno senza ricorrere alle definizioni ?
-per verificare l'integrabilità secondo Lebesgue basta verificare che :
$ int_(D) |f(x)| dx < \infty\ $ ? (dove D indica l'intervallo sul quale si vuole integrare)
ho dei dubbi su alcuni esercizi che mi chiedono di verificare se una funzione sia integrabile o meno secondo lebesgue su un dato intevallo. Riporto dapprima la traccia di un esercizio seguitoda un approccio generale su come affronterei problemi di questo tipo:
-Ese1:
per la risoluzione procederei nel seguente modo
1) verifico se l'intevallo su cui si voglia calcolare la funzione sia Lebesgue misurabile
2) verifico se la funzione è lebesgue misurabile su tale intevallo
3) verifico se sia possibile integrare secondo lebesgue
i miei dubbi sono i seguenti:
-come faccio a verificare se l'insieme sul quale vogliamo calcolare l'integrale e la funzione siano Lebesgue misurabili o meno senza ricorrere alle definizioni ?
-per verificare l'integrabilità secondo Lebesgue basta verificare che :
$ int_(D) |f(x)| dx < \infty\ $ ? (dove D indica l'intervallo sul quale si vuole integrare)
Risposte
Ciao
Esistono intervalli di $\mathbb R$ non misurabili secondo Lebesgue?
Come dobbiamo interpretare la scrittura $\int_{D}|f(x)|dx$? Cioè, "secondo chi" è da intendere questo integrale?
Esistono intervalli di $\mathbb R$ non misurabili secondo Lebesgue?
"daniele21":
-per verificare l'integrabilità secondo Lebesgue basta verificare che :
$ int_(D) |f(x)| dx < \infty\ $ ? (dove D indica l'intervallo sul quale si vuole integrare)
Come dobbiamo interpretare la scrittura $\int_{D}|f(x)|dx$? Cioè, "secondo chi" è da intendere questo integrale?
"coffee":
Esistono intervalli di $ \mathbb R $ non misurabili secondo Lebesgue?
Si mi viene in mente l'insieme di Vitali.
"coffe":
- Come dobbiamo interpretare la scrittura $ \int_{D}|f(x)|dx $? Cioè, "secondo chi" è da intendere questo integrale?
Ho riportato la definizione di una funzione che appartiene allo spazio $ L^1 $ anche se la vera definizione di funzione integrabile secondo Lebesgue è la seguente :
Sia $ Omega sube R^n $ insieme misurabile secondo Lebesgue. Si dice che una funzione $ f: Omega to R $ misurabile è integrabile secondo Lebesgue, se le funzioni $ f^+ =max{f,0} $ e $ f^(-) =min{f,0} $ sono integrabili secondo Lebesgue e si pone:
$ int_(Omega)f := int_(Omega)f^+ -int_(Omega)f^- $
La classe delle funzioni integrabili secondo Lebesgue su $Omega$ sarà indicata con $L^1(Omega)$.
Il mio rimane sempre un problema applicativo, ossia come mi devo approcciare (cosa dimostrare e cosa meno) quando ho un esercizio come quello che ho riportato nella prima domanda .... grazie
"daniele21":
[...] l'insieme di Vitali.
Intervalli, non sottoinsiemi.
[...] come mi devo approcciare (cosa dimostrare e cosa meno) [...]
La misurabilità del dominio e dell'integranda in genere si dimostrano per modo di dire, cioè si nota che è soddisfatta una proprietà che implica la misurabilità in base a qualche lemma. Qui il dominio è $(0,+\infty)$ e ti rimando alla domanda di prima: esistono intervalli di $\mathbb R$ non misurabili? Per quanto riguarda l'integranda, immagino che da qualche parte tu abbia incontrato un "teorema" che dice che le funzioni continue sono misurabili secondo Lebesgue (lo immagino perché di solito è la prima proposizione che viene dopo la definizione di funzione misurabile): ci sono valori di $\alpha$ o $\beta$ per cui $f$ non è continua?
Sull'altra questione, mi spiego meglio: la risposta alla domanda
"daniele21":è sì, appunto perché $f$ è integrabile secondo Lebesgue se e solo se sta in $L^1$, ma vorrei capire che cosa intendi con "verificare che $\int_{D}|f(x)|dx<\infty$": verificare che il sup degli integrali delle funzioni semplici maggiorate da $|f|$ è finito, che è la definizione di integrabilità secondo Lebesgue, o verificare che $|f|$ è integrabile secondo Riemann in senso improprio su $D$? Perché nel primo caso rispondendo "sì" ti starei consigliando di fare una cosa completamente inutile
per verificare l'integrabilità secondo Lebesgue basta verificare che : $ int_(D) |f(x)| dx < \infty\ $ ?
"coffee":
Intervalli, non sottoinsiemi.
No hai ragione,se parliamo di intervalli in R non abbiamo mai grossi problemi in quanto la misurabilità è sempre soddisfatta.
"coffee":
La misurabilità del dominio e dell'integranda in genere si dimostrano per modo di dire, cioè si nota che è soddisfatta una proprietà che implica la misurabilità in base a qualche lemma. Qui il dominio è $(0,+\infty)$ e ti rimando alla domanda di prima: esistono intervalli di $\mathbb R$ non misurabili? Per quanto riguarda l'integranda, immagino che da qualche parte tu abbia incontrato un "teorema" che dice che le funzioni continue sono misurabili secondo Lebesgue (lo immagino perché di solito è la prima proposizione che viene dopo la definizione di funzione misurabile): ci sono valori di $\alpha$ o $\beta$ per cui $f$ non è continua?
si ero a conoscenza del teorema e in questo caso possiamo dire che per tutti i valori di $\alpha$ o $\beta$ la nostra funzione è continua e quindi Lebesgue misurabile.
"coffee":è sì, appunto perché $f$ è integrabile secondo Lebesgue se e solo se sta in $L^1$, ma vorrei capire che cosa intendi con "verificare che $\int_{D}|f(x)|dx<\infty$": verificare che il sup degli integrali delle funzioni semplici maggiorate da $|f|$ è finito, che è la definizione di integrabilità secondo Lebesgue, o verificare che $|f|$ è integrabile secondo Riemann in senso improprio su $D$? Perché nel primo caso rispondendo "sì" ti starei consigliando di fare una cosa completamente inutile
Sull'altra questione, mi spiego meglio: la risposta alla domanda [quote="daniele21"]per verificare l'integrabilità secondo Lebesgue basta verificare che : $ int_(D) |f(x)| dx < \infty\ $ ?
[/quote]per quanto riguarda quest'ultimo punto non ho ben capito cosa vuoi intendere
ossia io "verificherei" che l'integrale non diverge, quindi so che per $\alpha<1$ e $\beta>1$ ciò accade(funzione integrabile) ma la mia vera domanda è come procedere analiticamente??(tu come faresti ? come faresti step by step se ti trovassi davanti questo esercizio?)
so che non risco ad esprimermi bene ma risulta difficile anche per me e quindi ti chiedo scusa se probabilmente ti ho fatto la stessa domanda ma sono un confuso su questo punto
grazie ancora
Il ragionamento che farei io è questo: sappiamo che su ogni intervallo compatto $[\epsilon,R]\subset(0,+\infty)$ (e per ogni $\alpha$ e $\beta$) la funzione $|f|$ è continua e quindi integrabile, sia secondo Riemann sia secondo Lebesgue, e i due integrali coincidono. Per distinguerli, indico con \[ \int_{\varepsilon}^R |f(x)|dx \] l'integrale secondo Riemann e con \[ \int_{[\varepsilon,R]}|f| \] l'integrale secondo Lebesgue. Essendo l'integranda non negativa, esiste il limite \[ \int_0^{+\infty}|f(x)|dx = \lim_{\varepsilon\to0^+,R\to+\infty}\int_{\varepsilon}^R|f(x)|dx \] e in particolare \[ \int_0^{+\infty}|f(x)|dx = \lim_{n\to+\infty}\int_{1/n}^n|f(x)|dx = \lim_{n\to+\infty}\int_{[1/n,n]}|f| = \lim_{n\to+\infty}\int_{(0,+\infty)}|f|\cdot\chi_{[1/n,n]} = \int_{(0,+\infty)}|f| \] dove l'ultima uguaglianza segue dal teorema di convergenza monotona.
Ora, quando $\int_0^{+\infty}|f(x)|dx$ è finito, diciamo che $|f|$ è integrabile secondo Riemann in senso improprio su $(0,+\infty)$, e sappiamo che questo accade se e solo se $\alpha<1$ e $\beta>1$, altrimenti $\int_0^{+\infty}|f(x)|dx = +\infty$. Quindi, quello che abbiamo effettivamente verificato è che questi sono i valori dei parametri per cui l'integrale converge se noi intendiamo la convergenza nel senso dell'integrale di Riemann improprio: a questo punto la catena di uguaglianze di prima implica che questi sono anche i valori per cui $f$ è integrabile secondo Lebesgue
Ora, quando $\int_0^{+\infty}|f(x)|dx$ è finito, diciamo che $|f|$ è integrabile secondo Riemann in senso improprio su $(0,+\infty)$, e sappiamo che questo accade se e solo se $\alpha<1$ e $\beta>1$, altrimenti $\int_0^{+\infty}|f(x)|dx = +\infty$. Quindi, quello che abbiamo effettivamente verificato è che questi sono i valori dei parametri per cui l'integrale converge se noi intendiamo la convergenza nel senso dell'integrale di Riemann improprio: a questo punto la catena di uguaglianze di prima implica che questi sono anche i valori per cui $f$ è integrabile secondo Lebesgue
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