Condizioni per l'esistenza del piano tangente

[mauri54]

Ciao a tutti
Data \( f\colon\Omega\subseteq\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} \), $f$ differenziabile in \( (x_0,y_0)\in\Omega \) allora il grafico di $f$ ammette piano tangente nel punto \( (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) \) e tale piano è

\( z-f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot(x-x_0,y-y_0) \)

Mi chiedevo se fosse sufficiente l'esistenza del gradiente nel punto $(x_0,y_0)$ per far esistere il piano tangente, oppure deve necessariamente essere differenziabile in tale punto. A naso direi di no perché non potrei approssimare localmente il grafico di $f$ con il piano tangente, però, analiticamente, perché è necessario richiedere la differenziabilità?

[donald_zeka]

Per definizione stessa di differenziabilità, ossia approssimazione lineare in un intorno di un punto...il piano tangente non è altro che il "significato" grafico della differenziabilità.

[mauri54]

"Vulplasir":Per definizione stessa di differenziabilità, ossia approssimazione lineare in un intorno di un punto...il piano tangente non è altro che il "significato" grafico della differenziabilità.

Giusto...che babbo che sono..
Grazie!