Condizioni necessarie e sufficienti problema di Neumann
Ciao a tutti! Ultimamente sono incappato nel seguente problema, che propongo di seguito.
"Sia $U$ connesso. Considerato il problema di Neumann
\(\displaystyle -\Delta u=f \) in \(\displaystyle U \)
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \nu} =0\) su \(\displaystyle \partial U \)
con \(\displaystyle f \) \(\displaystyle \in \) $L^2$, mostrare che esiste una soluzione debole del problema se e solo se \(\displaystyle \int_U f dx =0\)."
Io ho dimostrato l'implicazione da sinistra verso destra, utilizzando la formulazione debole del concetto di soluzione. Tuttavia, mi trovo in difficoltà nel dimostrare l'esistenza della soluzione assumendo che \(\displaystyle \int_U f dx =0\).
A lezione non abbiamo mai parlato di spazi $H^1$ quozientati.. qualcuno può cortesemente darmi una drttia o delle indicazioni?
Grazie mille per l'aiuto!
"Sia $U$ connesso. Considerato il problema di Neumann
\(\displaystyle -\Delta u=f \) in \(\displaystyle U \)
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \nu} =0\) su \(\displaystyle \partial U \)
con \(\displaystyle f \) \(\displaystyle \in \) $L^2$, mostrare che esiste una soluzione debole del problema se e solo se \(\displaystyle \int_U f dx =0\)."
Io ho dimostrato l'implicazione da sinistra verso destra, utilizzando la formulazione debole del concetto di soluzione. Tuttavia, mi trovo in difficoltà nel dimostrare l'esistenza della soluzione assumendo che \(\displaystyle \int_U f dx =0\).
A lezione non abbiamo mai parlato di spazi $H^1$ quozientati.. qualcuno può cortesemente darmi una drttia o delle indicazioni?
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
Ti manca da dimostrare che se \(\int f = 0\) allora esiste una soluzione? Per dimostrare l'esistenza si passa da Lax-Milgram di solito...
Esatto mi manca quel passaggio.. anche io ho pensato di usare Lax-Milgram.. adesso provo a dimostrare che la forma bilineare associata sia continua e coerciva e applico Lax-Milgram.. vedo dove arrivo.
Ho preso in mano il buon Salsa, che dice giustamente che quel problema non può essere risolto con Lax-Milgram per il fatto che due soluzioni del problema differiscono di una costante non nulla. Per provare la cosa che vuoi provare tu ricorre all'Alternativa di Fredholm!
Posso chiederti il titolo del libro di Salsa per cortesia?
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