Condizioni necessarie e sufficienti minimo/massimo relativo
Domanda: condizioni necessarie e sufficienti di un minimo relativo?!??!
Io so che x definizione che
$f:D->RR$ $x_0 in D$
$x_0$ è punto di minimo relativo se $EE delta>0 : f(x_0) <= f(x)$ $AA x in D nn I(x_0, delta)$
So che una condizione necessaria (quindi deve essere soddisfatta l'ipotesi affinchè la preposizione sia vera) è sicuramente data dal seguente teorema:
$f:(a,b)->RR$ $x_0 in (a,b)$
f derivabile in $x_0 in (a,b)$
$x_0$ è punto di minimo relativo
Allora
$f'(x_0) = 0$
dove la dimostrazione è banale e consiste nel verificare il limite (dato dalla definizione di derivata) da destra e da sinistra e vedere che l'unico punto in cui sono uguali è per x=0...
Fin qui nessun problema... (credo e spero)
Ora, condizione sufficiente per avere minimo relativo!?!?!? Se non sbaglio sufficiente significa che mi garantisce la verità della proposizione... Posso dire che se $P rArr Q$ P è sufficiente per Q (Q è vera, allora lo è anche P)
A me viene in mente il teorema di Weirestrass che però mi parla dell'esistenza di minimi e massimi assoluti!!! C'entra?? Posso in qualche modo ricondurmi ai minimi/massimi relativi??
[altri teoremi studiati che mi parlano di massimi e minimi non ne abbiamo visti e quindi non saprei proprio dove attaccarmi!!!]
grazie in anticipo!!
Io so che x definizione che
$f:D->RR$ $x_0 in D$
$x_0$ è punto di minimo relativo se $EE delta>0 : f(x_0) <= f(x)$ $AA x in D nn I(x_0, delta)$
So che una condizione necessaria (quindi deve essere soddisfatta l'ipotesi affinchè la preposizione sia vera) è sicuramente data dal seguente teorema:
$f:(a,b)->RR$ $x_0 in (a,b)$
f derivabile in $x_0 in (a,b)$
$x_0$ è punto di minimo relativo
Allora
$f'(x_0) = 0$
dove la dimostrazione è banale e consiste nel verificare il limite (dato dalla definizione di derivata) da destra e da sinistra e vedere che l'unico punto in cui sono uguali è per x=0...
Fin qui nessun problema... (credo e spero)
Ora, condizione sufficiente per avere minimo relativo!?!?!? Se non sbaglio sufficiente significa che mi garantisce la verità della proposizione... Posso dire che se $P rArr Q$ P è sufficiente per Q (Q è vera, allora lo è anche P)
A me viene in mente il teorema di Weirestrass che però mi parla dell'esistenza di minimi e massimi assoluti!!! C'entra?? Posso in qualche modo ricondurmi ai minimi/massimi relativi??
[altri teoremi studiati che mi parlano di massimi e minimi non ne abbiamo visti e quindi non saprei proprio dove attaccarmi!!!]
grazie in anticipo!!
Risposte
Come già osservato, il teorema di Fermat:
fornisce una condizione necessaria per il minimo locale per funzioni derivabili, nel senso che vale l'implicazione:
\[
x_0 \text{ è punto di minimo per } f \quad \Rightarrow \quad f^\prime (x_0)=0\; ;
\]
però, in generale, l'implicazione non si inverte, cioè:
\[
f^\prime (x_0)=0 \quad \cancel{\Rightarrow} \quad x_0 \text{ è punto di minimo per } f\; .
\]
Infatti, ad esempio, la funzione \(f(x):=x^3\) è derivabile in \(]-1,1[\), ha \(f^\prime (0)=0\) e tuttavia il punto \(0\) non è un punto di minimo (né di massimo) locale, in quanto \(f(x)<0\) per \(x<0\) e \(f(x)>0 \) per \(x>0\).
Quindi per "invertire" il teorema di Fermat, ossia per ottenere una condizione sufficiente per il minimo (o il massimo), bisogna aggiungere a \(f^\prime (x_0)=0\) qualche altra condizione...
Un esempio di condizione sufficiente è il seguente:
che si prova facilmente, usando la definizione di derivata seconda ed il teorema della permanenza del segno.
Un altro esempio di condizione sufficiente è il seguente:
che si prova usando la convessità/concavità della funzione.
Ad ogni modo, queste questioni sono affrontate su qualsiasi testo di Analisi I... Possibile che sul tuo libro di riferimento non ci sia nulla in proposito?
Sia \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) derivabile in \(]a,b[\) ed \(x_0\in ]a,b[\).
Se \(x_0\) è un minimo (o un massimo) locale per \(f\), allora \(f^\prime (x_0)=0\).
fornisce una condizione necessaria per il minimo locale per funzioni derivabili, nel senso che vale l'implicazione:
\[
x_0 \text{ è punto di minimo per } f \quad \Rightarrow \quad f^\prime (x_0)=0\; ;
\]
però, in generale, l'implicazione non si inverte, cioè:
\[
f^\prime (x_0)=0 \quad \cancel{\Rightarrow} \quad x_0 \text{ è punto di minimo per } f\; .
\]
Infatti, ad esempio, la funzione \(f(x):=x^3\) è derivabile in \(]-1,1[\), ha \(f^\prime (0)=0\) e tuttavia il punto \(0\) non è un punto di minimo (né di massimo) locale, in quanto \(f(x)<0\) per \(x<0\) e \(f(x)>0 \) per \(x>0\).
Quindi per "invertire" il teorema di Fermat, ossia per ottenere una condizione sufficiente per il minimo (o il massimo), bisogna aggiungere a \(f^\prime (x_0)=0\) qualche altra condizione...
Un esempio di condizione sufficiente è il seguente:
Siano \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una funzione derivabile in \(]a,b[\) ed \(x_0\in ]a,b[\).
Se:
[*:2asxd3g8] \(f^\prime (x_0)=0\)
[/*:m:2asxd3g8]
[*:2asxd3g8] \(f\) è derivabile due volte in \(x_0\) e si ha \(f^{\prime \prime}(x_0)>0\) [risp. \(f^{\prime \prime}(x_0)<0\)][/*:m:2asxd3g8][/list:u:2asxd3g8]
allora \(f\) ha un minimo [risp. massimo] locale in \(x_0\).
che si prova facilmente, usando la definizione di derivata seconda ed il teorema della permanenza del segno.
Un altro esempio di condizione sufficiente è il seguente:
Siano \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una funzione derivabile in \(]a,b[\) ed \(x_0\in ]a,b[\).
Se:
1. \(f^\prime (x_0)=0\)
2. intorno ad \(x_0\) la \(f\) è convessa [risp. concava]
allora \(f\) ha un minimo [risp. massimo] locale in \(x_0\).
che si prova usando la convessità/concavità della funzione.
Ad ogni modo, queste questioni sono affrontate su qualsiasi testo di Analisi I... Possibile che sul tuo libro di riferimento non ci sia nulla in proposito?
Come riferimento ufficiale ho il libro/dispense dei proff che mi parla solo di condizioni necessarie e fa giusto altri 2 teoremi utili nella risoluzione di esercizi!!
Così come il testo Analisi Matematica 1 di Bramanti, Pagani che ho a disposizione di condizioni sufficienti e necessarie non fa riferimenti specifici se non enunciare il teorema di Fermat!!
Comunque molto chiaro, grazie!!
(solitamente prima di postare un argomento, soprattutto di teoria provo e riprovo a cercare soluzioni)
Così come il testo Analisi Matematica 1 di Bramanti, Pagani che ho a disposizione di condizioni sufficienti e necessarie non fa riferimenti specifici se non enunciare il teorema di Fermat!!
Comunque molto chiaro, grazie!!
(solitamente prima di postare un argomento, soprattutto di teoria provo e riprovo a cercare soluzioni
)
Innanzitutto (non mi stancherò mai di ripeterlo): riponi il Bramanti-Pagani-Salsa sullo scaffale e prendi il Pagani-Salsa vecchio pre-riforma.
[Questo consiglio vale per tutti i libri di Analisi I e II.]
Poi: prego, figurati!
Riesci a dimostrare i due teoremi che ho citato? Prova un po'.
[Questo consiglio vale per tutti i libri di Analisi I e II.]
Poi: prego, figurati!
Riesci a dimostrare i due teoremi che ho citato? Prova un po'.
pranzo e poi provo a postare almeno la prima dimostrazione che è quella che mi ispira un po' di più!!
dovrei avere una copia in pdf di quello "vecchio" ma si legge maluccio!! allora l'altro lo ripongo nello scaffale!!
dovrei avere una copia in pdf di quello "vecchio" ma si legge maluccio!! allora l'altro lo ripongo nello scaffale!!
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