Condizioni necessarie e sufficienti derivabilità
Ciao,
sto affrontando questo esercizio preso da una prova tfa del 2014 che dice:
Sia f:(-1,1)->R una funzione, si supponga f derivabile in (-1,1)\{0} si consideri la condizione (P):
esistono finiti $\lim_{x \to \0^-}f'(x)=\lim_{x \to \0^+}f'(x)$
Mostrare attraverso opportuni esempi che (P) non è nè necessaria nè sufficiente all'esistenza di $f'(0)\inR$
Per quanto riguarda il fatto che (P) non è necessaria ho usato come controesempio la funzione $f(x)= \{(x^2 sen(1/x), se, x\ne 0),(0, se, x=0):}$ in questo caso $f'(0)=0$ ma il limite $\lim_{x \to \0}f'(x)=\lim_{x \to \0}2x sen 1/x - cos (1/x)$ non esiste.
Non riesco a trovare un controesempio per dimostrare che (P) non è condizione sufficiente, qualcuno mi può aiutare?
Grazie mille
sto affrontando questo esercizio preso da una prova tfa del 2014 che dice:
Sia f:(-1,1)->R una funzione, si supponga f derivabile in (-1,1)\{0} si consideri la condizione (P):
esistono finiti $\lim_{x \to \0^-}f'(x)=\lim_{x \to \0^+}f'(x)$
Mostrare attraverso opportuni esempi che (P) non è nè necessaria nè sufficiente all'esistenza di $f'(0)\inR$
Per quanto riguarda il fatto che (P) non è necessaria ho usato come controesempio la funzione $f(x)= \{(x^2 sen(1/x), se, x\ne 0),(0, se, x=0):}$ in questo caso $f'(0)=0$ ma il limite $\lim_{x \to \0}f'(x)=\lim_{x \to \0}2x sen 1/x - cos (1/x)$ non esiste.
Non riesco a trovare un controesempio per dimostrare che (P) non è condizione sufficiente, qualcuno mi può aiutare?
Grazie mille
Risposte
"qqwweerrttyy88":
Per quanto riguarda il fatto che (P) non è necessaria ho usato come controesempio la funzione
"qqwweerrttyy88":
Non riesco a trovare un controesempio per dimostrare che (P) non è condizione necessaria
Immagino tu abbia difficoltà sulla sufficienza. Beh, pensa ad una discontinuità a salto... riesci a fare in modo che valga P?
Ciao,
sì intendevo sufficiente, ho modificato il teso
certo con una discontinuità a salto posso far valere (P) e il valore del limite può essere diverso da quello della funzione derivata nel punto ma se è un salto $f'(0)\in R$ esiste, mentre, se non ho interpretato male la richiesta devo fare in modo che f'(0) non esista. Sbaglio?
sì intendevo sufficiente, ho modificato il teso
certo con una discontinuità a salto posso far valere (P) e il valore del limite può essere diverso da quello della funzione derivata nel punto ma se è un salto $f'(0)\in R$ esiste, mentre, se non ho interpretato male la richiesta devo fare in modo che f'(0) non esista. Sbaglio?
"qqwweerrttyy88":
se è un salto $ f'(0)\in R $ esiste
No no.
LoreT314 intende che \(f\) ha un salto di discontinuità non \(f'\) (anche perché in caso contrario se vale P, allora \(f \in C^1\) in \(0\)).
Come fa una funzione discontinua in \(0\) ad avere derivata in \(0\) ?
e hai ragione se è discontinua non può avere la derivata in quel punto, non so perchè non riuscivo ad arrivarci, grazie mille a entrambi 
"qqwweerrttyy88":
e hai ragione se è discontinua non può avere la derivata in quel punto, non so perchè non riuscivo ad arrivarci, grazie mille a entrambi
Riesci a pensare ad un contro esempio?
se ho capito un esempio può essere:
$f(x)= \{(x^2, se, x\ne 0),(3, se, x=0):}$ la funzione non è continua in zero quindi non è nemmeno derivabile in 0 ma $\lim_{x \to \0^+}f'(x)=lim_{x \to \0^-}f'(x)=0$
Giusto?
$f(x)= \{(x^2, se, x\ne 0),(3, se, x=0):}$ la funzione non è continua in zero quindi non è nemmeno derivabile in 0 ma $\lim_{x \to \0^+}f'(x)=lim_{x \to \0^-}f'(x)=0$
Giusto?
"qqwweerrttyy88":
se ho capito un esempio può essere:
$f(x)= \{(x^2, se, x\ne 0),(3, se, x=0):}$ la funzione non è continua in zero quindi non è nemmeno derivabile in 0 ma $\lim_{x \to \0^+}f'(x)=lim_{x \to \0^-}f'(x)=0$
Giusto?
Anche se io avevo pensato semplicemente \( f(x)=x \) se \(x \neq0 \) e \(f(0)=5 \)
non so perchè mi era sfuggita questa cosa, grazie ancora ad entrambi
Ma anche senza salto...
$f(x):=\{(0, ", se " x!=0),(1, ", se " x=0):}$
$f(x):=\{(0, ", se " x!=0),(1, ", se " x=0):}$
Può essere utile pensare a quale ipotesi su f vada aggiunta affinché P sia sufficiente
La continuità in $0$ basta.
È una nota conseguenza del teorema del marchese.
È una nota conseguenza del teorema del marchese.
"LoreT314":
Può essere utile pensare a quale ipotesi su f vada aggiunta affinché P sia sufficiente
è la seconda parte della domanda
e come hanno risposto sotto mi sembra vada aggiunta la continuità in 0.
"gugo82":
Ma anche senza salto...
$f(x):=\{(0, ", se " x!=0),(1, ", se " x=0):}$
Sono confuso, magari non so in italiano cos'è discontinuità a salto. Ma questa mi sembra una discontinuità a salto di \(f\)
"gugo82":
La continuità in $0$ basta.
È una nota conseguenza del teorema del marchese.
Sisi certo, lo dicevo a lui
"3m0o":
Sono confuso, magari non so in italiano cos'è discontinuità a salto. Ma questa mi sembra una discontinuità a salto di f
Questa credo venga chiamata eliminabile
"LoreT314":
Questa credo venga chiamata eliminabile
Ah okay, quindi in italiano eliminabile è quando limite destro e sinistro esistono e sono uguali (quindi anche il mio esempio era con discontinuità eliminabile) mentre a salto quando limite destro e sinistro esistono ma sono diversi?
Si io le ho sempre viste chiamate così
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