Condizioni Necessarie e sufficienti 1°/2° ordine

[MioDiMia]

Salve a tutti.
Prima di venire a scocciare ho provato a cercare nel foro una soluzione al mio problema ma nisba.
Ho letto il regolamento e l'ho riletto ancora aprendo la discussione. Spero di non aver fatto cavolate.

Avrei qualche problema a capire le condizioni necessarie e sufficienti riguardanti gli estremi relativi di una funzione ad una sola variabile.
In particolare nel programma scritto dal prof compaiono:
-Condizioni Relative del prim'ordine
-Condizioni Sufficienti del prim'ordine
-Condizioni Sufficienti del second'ordine

Le prime le ho capite studiando la valenza dell'"inverso" del teorema di Fermat. Un punto di max relativo ha derivata pari a 0 ma non vale l'inverso. Ecco perchè la condizione che si ricava da fermat è necessaria ma NON sufficiente.
Le altre due non riesco a capire da dove ricavarle.
Qualcuno può aiutarmi?

[Seneca1]

"MioDiMia":Un punto di max relativo ha derivata pari a 0 ma non vale l'inverso.

Attenzione qui.. Il punto deve essere interno all'intervallo in cui la $f$ è definita (è importante).

Una volta chiaro che la nomenclatura dei teoremi, lemmi, criteri è più o meno arbitraria, perché chiedi di congetturare ciò che il tuo professore volesse intendere?

Io potrei azzardare che il secondo dei criteri da te citati è il seguente:

$f : I -> RR$ derivabile , $I$ intervallo e $x_0$ interno ad $I$.

Se $f'(x) > 0 (< 0)$ in un intorno sinistro di $x_0$ e $f'(x) < 0 ( > 0 )$ in un intorno destro di $x_0$ , allora $x_0$ è un punto di massimo (minimo) per $f$.

$x_0$ è un punto estremante per $f$, interno ad $I$, in cui la funzione è derivabile (l'abbiamo richiesto nelle ipotesi!); quindi, per il teorema di Fermat, segue necessariamente che $f'(x_0) = 0$.

Nota che se la $f$ non fosse derivabile in $x_0$ , ma solamente in un intorno del punto ( $x_0$ escluso ) (p. es. considera la funzione $- |x|$ definita in $[- 1 , 1 ]$ ) il criterio funziona comunque se aggiungi che in $x_0$ la funzione è continua; ma non varrebbe più Fermat - ovviamente.

Controlla se ti torna il ragionamento... (scritto a quest'ora, poi)

[MioDiMia]

Grazie per l'aiuto.Hai confermato quello che temevo ovvero che il problema fosse di nomenclatura, nel senso che non si tratta di un teorema conosciuto ma semplicemente un modo di intendere del mio prof.
Ad ogni modo il ragionamento fila però mi sa che mi toccherà andare a ricevimento dal prof.
Gli undici indizi che ho è che sul programma le tre condizioni (1° ord nec, 1° ord suff, 2° ord suff) vengono rispettivamente dopo tre teoremi.
La prima Nec viene proprio dopo Fermat, la Suff del prim ordine viene dopo Rolle, Lagrange e la caraterizzazione delle funzioni monotone in intevalli mentre l'ultima, quella di 2° ordine suff viene dopo la formula di Taylor con resto in forma di Peano e di Lagrange.
La prima l'ho capita perchè sugli appunti avevo proprio la dimostrazione dell'inverso di Fermat. La seconda non sono proprio riuscito a trovarla mentre la 3°, quella di 2° ordine suff, non avendo ancora fatto Taylor per bene, non so nemmeno da dove prenderla.
Comunque grazie mille per l'aiuto e per la risposta prontissima.
Non credevo ci fosse un altro pazzo come me sveglio a quell'ora a far matematica così non mi sono preso la briga di controllare. Sei stato gentilissimo!