Condizioni di monotonia strettamente crescente
Salve a tutti. Vi cito il teorema sulle condizioni in questione come l'ho studiato io (Ermanno Lanconelli, Lezioni di analisi matematica 1, Pitagora Editrice Bologna):
"Sia I un intervallo non banale di R e sia f : I --> R derivabile in ogni punto di I. Allora f è monotona strettamente crescente su I se e solo se:
(i) $ f ' (x) >= 0 $ $ AA x in I $
(ii) l'insieme $ F = { x in I | f ' (x) = 0 } $ non ha punti interni."
(Lo so, è un libro orribile, non lo dite a me.) Ora, il mio interrogativo è questo: dire che l'insieme F non ha punti interni è equivalente a dire che è un insieme finito? o c'è qualche sottile differenza che mi sfugge?
Grazie a tutti voi.
"Sia I un intervallo non banale di R e sia f : I --> R derivabile in ogni punto di I. Allora f è monotona strettamente crescente su I se e solo se:
(i) $ f ' (x) >= 0 $ $ AA x in I $
(ii) l'insieme $ F = { x in I | f ' (x) = 0 } $ non ha punti interni."
(Lo so, è un libro orribile, non lo dite a me.) Ora, il mio interrogativo è questo: dire che l'insieme F non ha punti interni è equivalente a dire che è un insieme finito? o c'è qualche sottile differenza che mi sfugge?
Grazie a tutti voi.
Risposte
No è un concetto di topologia, vuol dire che nessun punto dell'insieme ha un intorno interamente contenuto nell'insieme. In pratica, questo insieme non può contenere intervalli, nemmeno piccolissimi. Questo succede sempre se l'insieme è finito, ma l'implicazione opposta non è vera.
Uhm... se ho capito bene un esempio di insieme infinito ma che non ha punti interni potrebbe essere N, giusto?
Giusto...
Ok... Grazie mille!!! 
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