Condizioni di integrabilità in senso improprio in 2D

[Ale1121]

Ciao a tutti, avrei un dubbio sul dimostrare l'integrabilità di:
$g(x,y) = 1/(x+y^2)$ su $A ={(x,y) t.c 0 <= y <= x <= 1}$
L'esercizio dice:
Dire se f è integrabile su A, ed eventualmente calcolarlo.

Io dalla teoria so che, essendoci un problema in (0,0) ed essendo sempre positiva la funzione su A, la funzione sarà integrabile(su A)se esiste finito il limite per n tendente ad infinito di:

$∫_(1/n)^1(∫_0^xdy f(x,y))dx$

Quindi per mostrare che è integrabile devo calcolare l'integrale, mentre la domanda dice di calcolarlo solo se esiste. Mi è sorto quindi il dubbio: c'è un modo migliore per dimostrarne l'integrabilità?
Grazie!

[otta96]

Uno potrebbe vedere se funzionano i vari criteri asintotici, comunque prova a fare il limite.

[pilloeffe]

Ciao Ale112,

"Ale112":Dire se f è integrabile su A

Beh sì lo è, infatti si ha:

$\int\int_A 1/(x + y^2) \text{d}x \text{d}y = \int_0^1 (\int_0^x 1/(x + y^2) \text{d}y) \text{d}x = \int_0^1 1/sqrt{x} arctan sqrt{x} \text{d}x = $
$ = [2 sqrt{x} arctan sqrt{x} - ln(1 + x) ]_0^1 = 2 arctan 1 - ln 2 = 2 \pi/4 - ln 2 = $
$ = \pi/2 - ln 2 = 1/2 (\pi - ln 4) $

[Ale1121]

Però se in (0,0) la funzione non è definita, x non dovrebbe essere integrata tra $1/n$ e 1 con n tendente a più infinito e vedere se viene un numero finito?

[pilloeffe]

Puoi provare anche con $\epsilon $ e poi procedere facendo il $\lim_{\epsilon \to 0} $, ma non cambia il risultato...

[Ale1121]

Grazie!