Condizioni da imporre nel trovare la soluzione di una equazione differenziale

[ecdlrubata]

Sto cercando di seguire la soluzione di una equazione differenziale così come descritta dal mio libro.

Sia data l'equazione

\(\displaystyle y' = 2t \sqrt{1-y^2}\)

Le rette \(\displaystyle y = 1 \) e \(\displaystyle y = -1 \) sono soluzioni. Le altre soluzioni sono date dalla formula:

\(\displaystyle \int{\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = 2 \int{tdt} + c }\)

cioè

\(\displaystyle \arcsin y = t^2 + c \)

e quindi, ricordando che \(\displaystyle \arcsin y \) è definito solo per \(\displaystyle -1 <= y <= 1 \) e che in questo intervallo è la funzione inversa di \(\displaystyle y =\sin x \), abbiamo

\(\displaystyle y = \sin{t^2+c} \) purchè \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} <= t^2 + c <= \frac{\pi}{2}\)

Se dovessimo ad esempio, risolvere il problema di Cauchy... [...]

Ciò che non capisco è da dove vien fuori la condizione \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} <= t^2 + c <= \frac{\pi}{2}\).
Il seno è una funzione che restituisce sempre valori tra -1 e 1, per qualsiasi valore di input, perché il fatto che cerco -1 <= y <= 1 impone \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} <= t^2 + c <= \frac{\pi}{2}\)?

[gugo82]

Qui vuoi esplicitare l'equazione:
\[
\arcsin y = t^2+c
\]
rispetto ad \(y\). Dato che \(\arcsin\) è definita in \([-1,1]\) e restituisce valori in \([-\pi/2,\pi/2]\), l'unica maniera in cui la tua equazione può avere qualche senso è che, in corrispondenza del parametro \(c\), esistano valori di \(t\) tali che \(t^2+c \in [-\pi/2,\pi/2]\) e che \(y\in [-1,1]\) (ma quest'ultima cosa è garantita dal fatto che c'è un \(1-y^2\) come argomento di una radice).

[ecdlrubata]

"gugo82":Qui vuoi esplicitare l'equazione:
\[
\arcsin y = t^2+c
\]
rispetto ad \(y\). Dato che \(\arcsin\) è definita in \([-1,1]\) e restituisce valori in \([-\pi/2,\pi/2]\), l'unica maniera in cui la tua equazione può avere qualche senso è che, in corrispondenza del parametro \(c\), esistano valori di \(t\) tali che \(t^2+c \in [-\pi/2,\pi/2]\) e che \(y\in [-1,1]\) (ma quest'ultima cosa è garantita dal fatto che c'è un \(1-y^2\) come argomento di una radice).

ciao, adesso ho capito perché deve essere \(t^2+c \in [-\pi/2,\pi/2]\) tuttavia mi ha confuso il fatto che quando voglio escplicitare la funzione devo controllare anche che la stessa \(y\) sia contenuta in un certo range di valori.
Mi spiego meglio. Se io dovessi partire da
\[
\arcsin y = t^2+c
\]
devo controllare che \(t^2+c\) sia contenuto nel range di valori che ritorna \(\arcsin y\), altrimenti la uguaglianza non sarà mai soddisfatta, fin qui tutto OK.
Ma non ho capito perché devo controllare y. Dovrei farlo anche partendo da questa espressione?

Domandina bonus
se \(A(t) \colon=\int a(t)dt\), allora \( A(t)-A(t_0)\) non è null'altro che un altro modo di scrivere \(\int_{t_0}^ta(t)dt \), giusto?

[ecdlrubata]

nessuno?