Condizioni cauchy-riemann

[sella891]

nn mi sono ben chiare queste condizioni e come faccio a verificarle.. allora io so che una funzione in campo complesso per essere olomorfa deve soddisfare le condizioni di cauchy - riemann:

[tex]\frac{d}{dx} f(x,y) = \frac{1}{i} \frac{d}{dy} f(x,y)[/tex]

ma io quando le applico nell'esercizio faccio le derivate e poi come faccio a stabilire se le condizioni sono rispettate????
da quanto ho capito è che dovrei vedere sia se parte reale che parte immaginaria esistono però nn penso sia la soluzione giusta in quanto in un esercizio diceva che nn venivano rispettate le condizioni e esistevano sia parte reale che parte immaginaria ..

altra cosa avendo questo tipo di esercizio:
data la funzione [tex]u(x,y)= sinhsiny + y[/tex] , usando le condizioni di cauchy riemann. trovare la funzione [tex]v(x,y)[/tex]in modo tale che [tex]f(x,y)=u(x,y) + iv(x,y)[/tex] risulti olomorfa come funzione di [tex]z=x+iy[/tex].
io ho ragionato applicando le condizioni quindi:
[tex]u_x(x,y) =sinycoshx[/tex]
[tex]u_y(x,y) =1 + sinhcosy[/tex]
quindi in teoria dovrei eguagliare le due equazioni:
[tex]u_x(x,y) =sinycoshx= \frac{1}{i}(1 + sinhcosy) = u_y(x,y)[/tex]
il testo dice che:
[tex]f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)[/tex] ma qui io la [tex]v(x,y)[/tex] la dovrei trovare e nn saprei come fare...
grazie mille in anticipo

[ciampax]

Per verificare se una funzione è olomorfa seguendo la condizione che hai scritto, basta calcolare $f_x,\ f_y$ e poi scrivere quanto vale $f_x+i f_y$: se viene zero, la funzione è olomorfa.

Per l'altra cosa: le condizioni di Caychy Riemann, scritte per le componenti della funzione, diventano

$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x$

Per risolvere il quesito, calcola una delle due derivate parziali di $u$ e ponila uguale alla derivata della $v$ corrispondente: a quel punto basta integrare la $v$ per avere la soluzione. Vediamo

$u_x=\cosh x\ \sin y=v_y$

e quindi, integrando rispetto ad $y$

$v=-\cosh x\ \cos y+g(x)$

D'altra parte, la seconda condizione di C-R implica che $v_x=-u_y$ e pertanto

$-\sinh x\ \cos y+g'(x)=-1-\sinh x\ \cos y$ e quindi $g'(x)=-1$ da cui $g(x)=-x+c$, $c\in RR$

Alla fine

$v(x,y)=-\cosh x\ \cos y-x+c$

[sella891]

grazie mille come prima cosa. poi per quanto riguarda il secondo punto :
1) nn ho ben capito se integri tutte e due [tex]u_x[/tex]e [tex]u_y[/tex] oppure integri solo una e poi sostituisci
2) perchè integrando esce la funzione g(x) ???
grazie mille ancora

[ciampax]

1) Non integro la $u$, integro la $v$: in pratica ho fatto

$v(x,y)=\int v_y\ dy=\int(\cosh x\ \sin y)\ dy$

2) Non eiste una primitiva, ne esistono infinite a meno di termini che hanno derivata nulla. Per cui devo sommare un termine $g(x)$ che ha derivata zero rispetto ad $y$.

[sella891]

scusa ma una primitiva nn sarebbe [tex]- coshxcosx[/tex] ?
come si fa a stabilire che di primitive ne esistono infinite??? scusa se continuo a tartassarti di domande
ma vorrei capire una volta per tutte

[ciampax]

L'integrazione si fa rispetto a $y$: per cui viene fuori

$\int \cosh x\ \sin y\ dy=\cosh x \int(\sin y)\ dy=-\cosh x\cos y$

Non si stabilisce: lo si sa per definizione. Mi sa che ti devi rileggere un po' di teoria.

[sella891]

si (ho sbagliato a mettere x ma volevo mettere y) cmq si sicuro mi devo rileggere la teoria ma il problema è che prima di postare qua ho cercato ovunque sulle dispense di teoria e sugli appunti .quello che ho trovato è quello che sapevo dal liceo ovvero per trovare una primitiva di una funzione devo integrare, ma sappiamo che sono infinite primitive perchè potremmo derivare e derivare poichè funzione periodica?? (se è per questo nn ci avevo pensato )

[ciampax]

Definizione: sia $f:A\rightarrow RR$ una funzione continua su $A$. Una funzione $F:A\rightarrow RR$ continua e derivabile su $A$ per cui $F'(x)=f(x)$ per ogni $x\in A$ si dice primitiva di $f$.

Teorema: Siano $F,G$ due primitive di $f$ su un insieme connesso $A$. Allora $G(x)=F(x)+c$, $c\in RR$ e per ogni $x\in A$.

Dimostrazione: Consideriamo la funzione $H=G-F$: allora $H'=G'-F'=f-f=0$ su $A$ e pertanto $H(x)=c$ costante su $A$. Ne segue che $G(x)-F(x)=c$ su $A$.


Possibile che non hai mai visto questo teorema? E che quindi per definizione

$\int f(x)\ dx=F(x)+c,\qquad c\in RR$?

Non ci credo, guarda.

[sella891]

sisi come no... sono io che ho confuso e ho detto che potendo trovare una primitiva nn ci potessero essere infinite primitive senza ricordarmi la definizione di primitiva .. grazie mille...(il mio errore sostanziale è stato quello di poter trovare una definizione su quello che stavo studiando invece dovevo trovarla dal discorso generale ).. cmq utilizzando [tex]G(x)[/tex] riesco a trovare v per l'esercizio(un piccolo escamotage diciamo ....