Condizioni affinché due integrali impropri commutino
Sto studiando un teorema che fornisce delle condizioni sufficienti affinché due integrali impropri commutino.
Siccome si tratta davvero di vedere un estratto preso paro paro dal libro (Zorich, Mathematical Analysis II, Capitolo 17.2), posto un'immagine:
dove l'equazione (17.23) che richiama nella dimostrazione è questa uguaglianza (cioè quando uno dei due integrali non è ancora improprio):
\(\displaystyle \int_c^d dy \int_a^\omega f(x,y) dx = \int_a^\omega dx \int_c^d f(x,y) dy \)
e la proposizione 4 che richiama alla fine è il seguente teorema standard sul passaggio al limite dentro un integrale improprio dipendente da un parametro:
La mia domanda è: a che serve supporre nel teorema che $f$ sia continua? Questa ipotesi (la 'a') viene usata solo per affermare che $\Phi_d(x)$ è continua, ma che cambierebbe se non lo fosse? Per arrivare all'asserto mi sembra che bastino le ipotesi sulle convergenze degli integrali, cioè solo la b) e c).
Siccome si tratta davvero di vedere un estratto preso paro paro dal libro (Zorich, Mathematical Analysis II, Capitolo 17.2), posto un'immagine:
dove l'equazione (17.23) che richiama nella dimostrazione è questa uguaglianza (cioè quando uno dei due integrali non è ancora improprio):
\(\displaystyle \int_c^d dy \int_a^\omega f(x,y) dx = \int_a^\omega dx \int_c^d f(x,y) dy \)
e la proposizione 4 che richiama alla fine è il seguente teorema standard sul passaggio al limite dentro un integrale improprio dipendente da un parametro:
La mia domanda è: a che serve supporre nel teorema che $f$ sia continua? Questa ipotesi (la 'a') viene usata solo per affermare che $\Phi_d(x)$ è continua, ma che cambierebbe se non lo fosse? Per arrivare all'asserto mi sembra che bastino le ipotesi sulle convergenze degli integrali, cioè solo la b) e c).
Risposte
Il teorema di Fubini & Tonelli fa lo stesso servizio e vale in ipotesi più leggere...
Grazie della risposta.
Quindi la risposta è: in realtà non ti serve la continuità, MA ti serve proprio che l'integrale sia assolutamente convergente. Sicuramente però la dimostrazione del libro userà la continuità da qualche parte. Non viene molta voglia di leggerla, visto che come dice Gugo uno può usare il linguaggio della teoria della misura e formulare il teorema di Fubini completo.
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