Condizione sufficiente e necessaria per l'integrabilità
C'è un Teorema sulle funzioni integrali che dice :
Sia f:[a,b]->R è continua allora f è integrabile in [a,b].
Dato che si tratta di una condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità, volevo sapere se esistono delle funzioni che pur essendo continue, non si possono integrare, ma soprattutto se c'è qualche Teorema con il quale ho la condizione sufficiente e necessaria per l'integrabilità di una funzione. Grazie
Sia f:[a,b]->R è continua allora f è integrabile in [a,b].
Dato che si tratta di una condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità, volevo sapere se esistono delle funzioni che pur essendo continue, non si possono integrare, ma soprattutto se c'è qualche Teorema con il quale ho la condizione sufficiente e necessaria per l'integrabilità di una funzione. Grazie
Risposte
"pitrineddu90":
C'è un Teorema sulle funzioni integrali che dice :
Sia f:[a,b]->R è continua allora f è integrabile in [a,b].
Dato che si tratta di una condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità, volevo sapere se esistono delle funzioni che pur essendo continue, non si possono integrare, ma soprattutto se c'è qualche Teorema con il quale ho la condizione sufficiente e necessaria per l'integrabilità di una funzione. Grazie
Ciao, no a parte questo teorema da te enunciato che è una condizione necessaria ma non sufficiente nn ci sono altri teoremi che diano una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia integrabile...o meglio se prima di tutto definisci una funzione integrabile secondo Reiemann allora un teorema dice che C.N.S affinché la funzione f:[a,b]->R limitata in [a,b] sia R-integrabile in [a,b] è che la classe delle somme integrali inferiori e la classe delle somme integrali superiori siano contigue...questo è chiamato proprio teorema di riemann è per capirlo dei andare a studiare quando una funzione è riemann integrabile
Capito. E funzioni continue ma NON integrabili ??
C'è un po' di confusione in quanto dice pitrineddu90... in forza del th enunciato non possono esserci funzioni $[a,b] \to \R$ continue ma non Riemann integrabili... caso mai, siccome il viceversa non è vero, ci sono funzioni $[a,b] \to \R$ Riemann integrabili che non sono continue (ad esempio le funzioni monotone sono integrabili).
"pitrineddu90":
Capito. E funzioni continue ma NON integrabili ??
no scusami ma con contigue non mi riferivo a funzioni ma a famiglie di partizioni...cioè l'integrale di riemann si introduce cosi: data una funzione si considera la somma dei plurirettangoli inscritti alla funzione e la somma di quelli circoscritti alla funzione...in questo modo la prima somma sarà un approssimazione per difetto dell'area tra la funzione e l'asse x, mentre la seconda sarà un approssimazione per eccesso di tale area...ora una somma superiore può essere quasi vicina all area che cerchiamo come tanto lontana ancora dal vero valore xk questo dipende da che tipo di partizione effettuiamo dell'intervallo [a,b], quindi detto ciò consideriamo la famiglia (classe) delle somme superiori e la famiglia (classe) delle somme inferiori...l'estremo inferiore della classe delle somme superiori è proprio l'area cercata, cosi come lo è anke l'estremo superiore della famiglia della classe inferiore. se questo inf e questo sup coincidono la funzione è R integrabile
"Luca.Lussardi":
C'è un po' di confusione in quanto dice pitrineddu90... in forza del th enunciato non possono esserci funzioni $[a,b] \to \R$ continue ma non Riemann integrabili... caso mai, siccome il viceversa non è vero, ci sono funzioni $[a,b] \to \R$ Riemann integrabili che non sono continue (ad esempio le funzioni monotone sono integrabili).
si concordo perche il teorema dice che C.N affinché f sia integrabile in [a,b] è che f sia continua in [a,b]::::: quindi se è continua è integrabile....se è integrabile non possiamo dire sia continua
@roby92100: E' vero che le domande di pitrineddu sono piuttosto confusionarie, ma certo le tue risposte non aiutano. Quello di cui stai parlando è la costruzione (o meglio, una possibile costruzione) dell'integrale di Riemann. Secondo questa costruzione, sono per definizione integrabili secondo Riemann le funzioni per le quali il sup delle somme inferiori coincide con l'inf delle somme superiori. Bene.
Chiaro che non possiamo certo stare a verificare, ogni volta che ci passa tra le mani una funzione, inf e sup di somme superiori e inferiori; è una cosa in generale molto difficile e soprattutto molto scomoda, per questo esistono svariati criteri per stabilire, possibilmente in modo indolore, se una data funzione è integrabile o meno.
Un criterio molto importante è quello ricordato da pitrineddu: tutte le funzioni continue in un intervallo limitato sono Riemann integrabili. Viene naturale chiedersi: vale il viceversa? La risposta è no, come suggeriva Luca; volendo fare un esempio concreto molto semplice, si può pensare alla funzione
$f(x)={(0, x \in [-1, 1]\ \x!=0), (1, x=0):}$
non è difficile ma un po' scocciante dimostrare, usando somme superiori e inferiori, che questa funzione è Riemann-integrabile con integrale nullo.
Allora ci si chiede, come faceva pitrineddu: ma allora quale criterio possiamo trovare, per stabilire se una funzione è Riemann-integrabile senza dover passare da quelle somme superiori e inferiori che sono ingestibili? A questa domanda ha trovato una risposta Vitali, con un teorema che caratterizza completamente le funzioni Riemann-integrabili in termini di continuità.
E' comunque un teorema piuttosto avanzato che non mi sembra il caso di introdurre qui; ai fini del calcolo è più che sufficiente sapere che sono integrabili tutte le funzioni continue e tutte le funzioni generalmente continue (ovvero continue con al più un numero finito di punti di discontinuità).
Chiaro che non possiamo certo stare a verificare, ogni volta che ci passa tra le mani una funzione, inf e sup di somme superiori e inferiori; è una cosa in generale molto difficile e soprattutto molto scomoda, per questo esistono svariati criteri per stabilire, possibilmente in modo indolore, se una data funzione è integrabile o meno.
Un criterio molto importante è quello ricordato da pitrineddu: tutte le funzioni continue in un intervallo limitato sono Riemann integrabili. Viene naturale chiedersi: vale il viceversa? La risposta è no, come suggeriva Luca; volendo fare un esempio concreto molto semplice, si può pensare alla funzione
$f(x)={(0, x \in [-1, 1]\ \x!=0), (1, x=0):}$
non è difficile ma un po' scocciante dimostrare, usando somme superiori e inferiori, che questa funzione è Riemann-integrabile con integrale nullo.
Allora ci si chiede, come faceva pitrineddu: ma allora quale criterio possiamo trovare, per stabilire se una funzione è Riemann-integrabile senza dover passare da quelle somme superiori e inferiori che sono ingestibili? A questa domanda ha trovato una risposta Vitali, con un teorema che caratterizza completamente le funzioni Riemann-integrabili in termini di continuità.
E' comunque un teorema piuttosto avanzato che non mi sembra il caso di introdurre qui; ai fini del calcolo è più che sufficiente sapere che sono integrabili tutte le funzioni continue e tutte le funzioni generalmente continue (ovvero continue con al più un numero finito di punti di discontinuità).
"dissonance":
@roby92100: E' vero che le domande di pitrineddu sono piuttosto confusionarie, ma certo le tue risposte non aiutano. Quello di cui stai parlando è la costruzione (o meglio, una possibile costruzione) dell'integrale di Riemann. Secondo questa costruzione, sono per definizione integrabili secondo Riemann le funzioni per le quali il sup delle somme inferiori coincide con l'inf delle somme superiori. Bene.
Chiaro che non possiamo certo stare a verificare, ogni volta che ci passa tra le mani una funzione, inf e sup di somme superiori e inferiori; è una cosa in generale molto difficile e soprattutto molto scomoda, per questo esistono svariati criteri per stabilire, possibilmente in modo indolore, se una data funzione è integrabile o meno.
Un criterio molto importante è quello ricordato da pitrineddu: tutte le funzioni continue in un intervallo limitato sono Riemann integrabili. Viene naturale chiedersi: vale il viceversa? La risposta è no, come suggeriva Luca; volendo fare un esempio concreto molto semplice, si può pensare alla funzione
$f(x)={(0, x \in [-1, 1]\ \x!=0), (1, x=0):}$
non è difficile ma un po' scocciante dimostrare, usando somme superiori e inferiori, che questa funzione è Riemann-integrabile con integrale nullo.
Allora ci si chiede, come faceva pitrineddu: ma allora quale criterio possiamo trovare, per stabilire se una funzione è Riemann-integrabile senza dover passare da quelle somme superiori e inferiori che sono ingestibili? A questa domanda ha trovato una risposta Vitali, con un teorema che caratterizza completamente le funzioni Riemann-integrabili in termini di continuità.
E' comunque un teorema piuttosto avanzato che non mi sembra il caso di introdurre qui; ai fini del calcolo è più che sufficiente sapere che sono integrabili tutte le funzioni continue e tutte le funzioni generalmente continue (ovvero continue con al più un numero finito di punti di discontinuità).
ma infatti io ho introdotto solo l'enunciato di quel teorema perché, sempre parlando di funzioni definite in un intervallo [a,b] l'unico teorema che ci da una condizione di integrabilità è quello proposto sin dall'inizio da pitrineddu, e da quello che hai detto tu un teorema di Vitali che putroppo non conosco....Poiché lui chiedeva l'esistenza di altri teoremi aventi lo stesso utilizzo ho risposto appunto dicendo che ce n'è solo un altro che riguarda gli integrali di reiemann..xò essendomi spiegato male lui aveva già iniziato a parlare di funzioni contigue quindi mi sono dovuto spiegare meglio
"pitrineddu90":
C'è un Teorema sulle funzioni integrali che dice :
Sia f:[a,b]->R è continua allora f è integrabile in [a,b].
Dato che si tratta di una condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità, volevo sapere se esistono delle funzioni che pur essendo continue, non si possono integrare, ma soprattutto se c'è qualche Teorema con il quale ho la condizione sufficiente e necessaria per l'integrabilità di una funzione. Grazie
Lo avevo completamente dimenticato:: Se f:[a,b]->R è monotona e limitata, allora è integrabile in [a,b]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo