Condizione per la sviluppabilità in serie di Taylor
Slave a tutti,
volevo chiedere il vostro aiuto per la dimostrazione del seguente teorema che ho trovato sul mio libro.
Siano $x_0 in RR$, $rho>0$ e $f:text(])x_0-rho,x_0+rho[ rarr RR$ una funzione avente derivate di qualsiasi ordine. Supponiamo che
$EE nu in NN$, $EE M>=0$: $text(sup)|f^(n)(x)|<=M$ $AA n>nu$.
Allora f è sviluppabile in serie di Taylor in $text(])x_0-rho,x_0+rho[$.
Dimostrazione
La tesi segue dal fatto che $lim_(n rarr oo)(n!)/(rho^n)=+oo$. Dalla definizione di limite si ha:
$EE mu in NN : (n!)/(rho^n)>1$ $AA n>nu$.
e quindi
$text(sup)|f^(n)(x)|<=M<=(Mn!)/(rho^n)$ $AA n>max(nu,mu)$
Da cui la tesi per il Teorema precedente.
Intende il seguente teorema:
Siano $x_0 in RR$, $rho>0$ e $f:text(])x_0-rho,x_0+rho[ rarr RR$ una funzione avente derivate di qualsiasi ordine. Supponiamo che $EE nu in NN$, $EE M>=0$: $text(sup)|f^(n)(x)|<=(Mn!)/(rho^n)$ $AA n>nu$.
Allora f è sviluppabile in serie di Taylor in $text(])x_0-rho,x_0+rho[$.
Mi interessa capire perchè $lim_(n rarr oo)(n!)/(rho^n)=+oo$ e $EE mu in NN : (n!)/(rho^n)>1$ $AA n>nu$.
volevo chiedere il vostro aiuto per la dimostrazione del seguente teorema che ho trovato sul mio libro.
Siano $x_0 in RR$, $rho>0$ e $f:text(])x_0-rho,x_0+rho[ rarr RR$ una funzione avente derivate di qualsiasi ordine. Supponiamo che
$EE nu in NN$, $EE M>=0$: $text(sup)|f^(n)(x)|<=M$ $AA n>nu$.
Allora f è sviluppabile in serie di Taylor in $text(])x_0-rho,x_0+rho[$.
Dimostrazione
La tesi segue dal fatto che $lim_(n rarr oo)(n!)/(rho^n)=+oo$. Dalla definizione di limite si ha:
$EE mu in NN : (n!)/(rho^n)>1$ $AA n>nu$.
e quindi
$text(sup)|f^(n)(x)|<=M<=(Mn!)/(rho^n)$ $AA n>max(nu,mu)$
Da cui la tesi per il Teorema precedente.
Intende il seguente teorema:
Siano $x_0 in RR$, $rho>0$ e $f:text(])x_0-rho,x_0+rho[ rarr RR$ una funzione avente derivate di qualsiasi ordine. Supponiamo che $EE nu in NN$, $EE M>=0$: $text(sup)|f^(n)(x)|<=(Mn!)/(rho^n)$ $AA n>nu$.
Allora f è sviluppabile in serie di Taylor in $text(])x_0-rho,x_0+rho[$.
Mi interessa capire perchè $lim_(n rarr oo)(n!)/(rho^n)=+oo$ e $EE mu in NN : (n!)/(rho^n)>1$ $AA n>nu$.
Risposte
Per quanto riguarda il limite, se svolgi i prodotti hai
\[
\frac{n \cdot (n - 1) \cdot \cdots \cdot 2}{\rho \cdot \rho \cdots \rho}
\]
ma \(n \to \infty\) e quindi \(n > \rho\) definitivamente, cioè dopo un certo \(\tilde n\) che è il più grande numero intero minore di \(\rho\), e quindi quella cosa diventa
\[
\frac{2 \cdot 3 \cdots \tilde n}{\rho \cdots \rho} \cdot \frac{(\tilde n + 1) \cdots n}{\rho \cdots \rho} = \frac{2 \cdot 3 \cdots \tilde n}{\rho^\tilde n} \cdot \frac{(\tilde n + 1)}{\rho} \cdot \frac{\tilde n + 2}{\rho} \cdots \frac{n}{\rho}.
\]
Ora, la prima frazione è un certo numero reale positivo di cui non ci interessa molto, mentre quel che rimane è un prodotto di termini che sono tutti maggiori di 1, e quindi il risultato non può che divergere.
Sulla seconda cosa che chiedi, non ho capito che cosa vuoi sapere, né che cosa sia \(\mu\).
\[
\frac{n \cdot (n - 1) \cdot \cdots \cdot 2}{\rho \cdot \rho \cdots \rho}
\]
ma \(n \to \infty\) e quindi \(n > \rho\) definitivamente, cioè dopo un certo \(\tilde n\) che è il più grande numero intero minore di \(\rho\), e quindi quella cosa diventa
\[
\frac{2 \cdot 3 \cdots \tilde n}{\rho \cdots \rho} \cdot \frac{(\tilde n + 1) \cdots n}{\rho \cdots \rho} = \frac{2 \cdot 3 \cdots \tilde n}{\rho^\tilde n} \cdot \frac{(\tilde n + 1)}{\rho} \cdot \frac{\tilde n + 2}{\rho} \cdots \frac{n}{\rho}.
\]
Ora, la prima frazione è un certo numero reale positivo di cui non ci interessa molto, mentre quel che rimane è un prodotto di termini che sono tutti maggiori di 1, e quindi il risultato non può che divergere.
Sulla seconda cosa che chiedi, non ho capito che cosa vuoi sapere, né che cosa sia \(\mu\).
"Raptorista":
Sulla seconda cosa che chiedi, non ho capito che cosa vuoi sapere, né che cosa sia \(\mu\).
Mi sa proprio che Sirio ha sbagliato a scrivere la prima volta e poi ha fatto copia-incolla
$\mu$ sarebbe $\nu$...@Sirio: Raptorista ti ha mostrato come
\[\dfrac{n!}{\rho^n}\to +\infty\]
per $x\to +\infty$. Da questo segue l'altra proposizione:
\[\exists \nu \in \mathbb{N} : \dfrac{n!}{\rho^n}>1\qquad \forall n>\nu\]
"Plepp":
Mi sa proprio che Sirio ha sbagliato a scrivere la prima volta e poi ha fatto copia-incolla
Sì, è come pensavo, infatti 'm' e 'n' sono pure vicine sulla tastiera..
Comunque, direi che non c'è bisogno di rispondere al secondo pezzo ora che il primo è risolto, come giustamente dici tu, Plepp.
Mi sa proprio che Sirio ha sbagliato a scrivere la prima volta e poi ha fatto copia-incolla
Appunto...Scusate per l'errore. Comunque grazie ad entrambi. Ora mi è tutto più chiaro.
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