Condizione necessaria secondo ordine. Dimostrazione

[pinkfloydian]

Salve a tutti!
Avrei qualche problemino nel comprendere la dimostrazione, complici anche gli appunti presi abbastanza male dalle lezioni del professore. Evito di postare l'intera dimostrazione che è un po' lunga e perchè i miei dubbi si limitano solo ad alcuni passaggi.

Da come ho capito, per arrivare alla tesi, si riduce la funzione a due variabili in una funzione ad una sola variabile $ F(t)=f(x_0+th,y_0+tk)$ $ AAtin (-1,1) $. Qui il primo dubbio: perchè si sceglie di far variare $t$ tra $-1$ e $1$?

All'inizio della dimostrazione invece impone che si scelga $(h,k)$ in modo tale che $root_(h^2+k^2)
Questo è tutto, per il resto, il modo in cui si arriva alla tesi mi è chiaro, come vedete sono le condizioni imposte che non mi riesco a spiegare.
Grazie mille!

[donald_zeka]

Eh? Cosa stai cercando di dimostrare?

[pinkfloydian]

Ma se leggi bene mi sembra di essere stato abbastanza chiaro nel porre la domanda. Non ho chiesto la dimostrazione, ma il motivo per cui t debba variare in un intervallo limitato. Perchè t non può assumere qualsiasi valore reale e se così fosse quale condizione verrebbe meno?
Saluti

[dissonance]

Sicuramente la tua funzione è definita in un insieme aperto che contiene $(x_0, y_0)$. Tu devi quindi prendere un segmentino che passi per $(x_0, y_0)$ e che non esca dall'aperto. La parametrizzazione $(x_0+th, y_0+tk)$ con $(h, k)$ piccolo serve proprio a garantire questo.

Fai un disegnino per capire cosa sta succedendo.

[pinkfloydian]

Grazie dissonance, credo di aver capito qual è il ragionamento, in caso di ulteriori dubbi vi farò sapere.
Gentilissimo!