Condizione necessaria per avere l'asintoto obliquo

[jack ishimaura]

Salve a tutti , vi pongo questo domanda:mi sapete dire perché per avere l'asintoto obliquo è necessario che si abbia $\lim_{x \to \infty}f(x)=infty$ ? Sul mio libro di testo c'è scritto che questo deriva dalla definizione $\lim_{x\to \infty}f(x)-(mx+q)=0$ , ma non ho capito il perché di quest'affermazione.Mi piacerebbe capirlo con una dimostrazione.

[axpgn]

L'asintoto obliquo è una retta (non parallela agli assi) ed in particolare è quella retta a cui la funzione si avvicina sempre più al tendere all'infinito di $x$ ... ora qual è il limite di una retta per $x$ che tende all'infinito ? Se la funzione si avvicina sempre più a questa retta qual è sarà il suo limite?

[Fioravante Patrone1]

"jack ishimaura":Salve a tutti , vi pongo questo domanda:mi sapete dire perché per avere l'asintoto obliquo è necessario che si abbia $\lim_{x \to \infty}f(x)=infty$ ? Sul mio libro di testo c'è scritto che questo deriva dalla definizione $\lim_{x\to \infty}f(x)-(mx+q)=0$ , ma non ho capito il perché di quest'affermazione.Mi piacerebbe capirlo con una dimostrazione.

Alla definizione $\lim_{x\to \infty}f(x)-(mx+q)=0$ occorre aggiungere la condizione che $m \ne 0$.
Supponiamo che sia $m>0$ e consideriamo queste due funzioni:
$g(x) = f(x)-(mx+q)$ il suo limite a + infinito è zero, per ipotesi
$h(x) = mx+q$ il suo limite a + infinito è + infinito (ricordo che m>0), come noto
Allora il lim a + infinito di g+h è + infinito.
Ma g+h = f

trucchettino molto standard

[CaMpIoN]

Credo si possa pure applicare l'operazione somma di limiti
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left(f(x)-(mx+q)\right)=\lim_{x\to\infty} f(x)-\lim_{x\to\infty} (mx+q)=0 \)
Nota che quando si usa $\infty$ senza segno si intende indifferentemente uno dei due ($-\infty$ o $+\infty$). A questo punto se sposti il secondo limite hai
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} (mx+q) \)
Siccome il limite di $x\to\infty$ di una retta è $\infty$ ($-$ o $+$ che sia) allora ottieni il risultato
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty \)

[Fioravante Patrone1]

"CaMpIoN":Credo si possa pure applicare l'operazione somma di limiti
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left(f(x)-(mx+q)\right)=\lim_{x\to\infty} f(x)-\lim_{x\to\infty} (mx+q)=0 \)
...

Per poter scrivere l'uguaglianza qui sopra occorre preventivamente sapere che il limite di f esiste.
E il "trucchettino molto standard" che ho usato serve proprio (anche) a questo

"CaMpIoN":
...
Siccome il limite di $x\to\infty$ di una retta è $\infty$ ($-$ o $+$ che sia) allora ottieni il risultato
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty \)

Siccome sono pignolo, ricordo che:
- si dice "il limite per $x\to\infty$", non "il limite di $x\to\infty$"
- quanto dici è corretto se m è diverso da 0
- non parlerei di "limite di una retta" (ma qui la mia pignoleria esagera un pochino)