Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un limite di funzione

[Prostaferesi]

Quali sono le CNS per affermare che un limite di una funzione esite? E la loro dimostrazione? Un mio collega mi ha detto che affermare l'esistenza del limite destro e sinitro nell'intorno non è corretto, ma che bisogna dimostrare che le seguenti relazioni sono equivalenti:

i. $ AA x_n -> x_0, x_nin A-{x_0} $ $ AA nin N $ $ rArr f(x_n)rarr l $

ii. $ \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:x\in A, 0\neq |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon $

Queste relazioni non stanno a dimostrare semplicemente un legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni?

[Seneca1]

Faccio fatica a capire qual è il tuo dubbio.

Quello che citi è un teorema di caratterizzazione noto in letteratura come teorema ponte: i) e ii) sono equivalenti. Viene utile, per esempio, per dimostrare la non esistenza di un limite (ciò si fa negando i) ). Ma il teorema ponte non è l'unico risultato per inferire l'esistenza di un limite.

[Prostaferesi]

"Seneca":Faccio fatica a capire qual è il tuo dubbio.

Questo teorema ponte mi fornisce la condizione necessaria e sufficiente per affermare che un limite di funzione esiste?

[Seneca1]

Esatto.

[dissonance]

L'unico problema è che questa non è "la" condizione necessaria e sufficiente, ma solo "una" condizione necessaria e sufficiente. E' chiaro che ce ne sono tantissime. Se la tua domanda è "qual è la condizione necessaria e sufficiente *che il professore chiede all'esame*", purtroppo non ti si può rispondere qui, l'unico che ti può aiutare è il professore o il libro.