Condizione necessaria e suf. per l'esistenza di primitive

[Leonardo891]

Ciao a tutti
Conosco la proprietà di Darboux delle funzioni derivate però questa è solo una condizione necessaria affinché una funzione ammetta primitive.
Sorge allora la domanda: esiste una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione $ f: A -> RR $ con $ A sube RR $ ammetta primitive?

[dissonance]

Mi ricordo di aver fatto una piccola ricerca al riguardo, tempo fa. Lasciai perdere perché è un argomento abbastanza complicato: sulla Wikipedia inglese, qui, c'è qualche informazione a riguardo.

[Leonardo891]

Grazie me lo leggo un po' e poi ti dirò cosa ne avrò cavato fuori.

[Leonardo891]

Molto interessante, dissonance però, se ci ho capito qualcosa (difficile perché molti di questi argomenti ancora non li studio) si tratta solo di condizioni necessarie, non sufficienti.
Piuttosto, ho appena trovato questo: lega l'esistenza delle primitive alle equazioni differenziali formulando una condizione necessaria e sufficiente: mi sembra come il cane che si morde la cosa, però perché come dimostro che quell'equazione differenziale ha soluzioni senza assumere nemmeno la continuità della funzione?

[dissonance]

"Leonardo89":Molto interessante, dissonance però, se ci ho capito qualcosa (difficile perché molti di questi argomenti ancora non li studio) si tratta solo di condizioni necessarie, non sufficienti.

Si, lì c'è solo una raccolta random di risultati tanto per illustrare la difficoltà del problema. Mi pare (ma io non sono assolutamente un esperto) che su questo argomento ci sia un libro di Lebesgue, "Sull'integrazione e sulla ricerca di funzioni primitive" o qualcosa del genere. Spero che qualche esperto vero possa intervenire per correggere questo titolo.

"Leonardo89":Piuttosto, ho appena trovato questo: lega l'esistenza delle primitive alle equazioni differenziali formulando una condizione necessaria e sufficiente: mi sembra come il cane che si morde la cosa, però perché come dimostro che quell'equazione differenziale ha soluzioni senza assumere nemmeno la continuità della funzione?

Buh! Risolvere questo problema equivale a trovare le condizioni necessarie e sufficienti di cui sopra quindi siamo punto e daccapo.
Lì ammicca ad un metodo per approssimazioni lineari successive (quando costruisce il grafico disegnandolo per pezzi dritti sempre più fitti), che effettivamente è un algoritmo numerico per approssimare le soluzioni delle equazioni differenziali. Ma nel costruire quei pezzi sempre più fitti lui è tranquillo di costruire una cosa convergente ad una primitiva, perché lui è sicuro che esiste una primitiva, avendo supposto la funzione continua.
In conclusione credo che quella pagina non ci dica granché.

P.S.: Toh! Ho trovato un mio post di un anno fa: https://www.matematicamente.it/forum/esi ... 30894.html
Com'è rimasto desolatamente vuoto!

[Leonardo891]

Certo che quella pagina non dice niente: l'ho linkata solo per quella "falsa" condizione necessaria e sufficiente. All'inizio non pensavo che l'argomento fosse così avanzato.
Ho domandato perché sapevo che sulla Riemann-integrabilità esiste una condizione necessaria e sufficiente con Lebesgue quindi pensavo che su un problema "apparentemente" più facile una condiozione fosse stata trovata.
Forse un certo Gugo può saperne qualcosa?