Condizione Necessaria Derivate Parziali Ordine Superiore

[Bacchinif]

Proverò a fare un esempio di un caso specifico per esporre il mio dubbio.

Ho una funzione scalare definita in una regione in R^2 a valori in R, essendo reale. Prendo un punto Po interno alla regione. In questo punto c'è il vettore gradiente, cioè esistono le due derivate parziali rispetto ad x ed a y. Ora, ipotizzo che la funzione sia derivabile parzialmente due volte in quel punto. Ergo devo calcolare quattro derivate parziali prime, due della derivata parziale prima rispetto alla x ed altre due della parziale prima rispeto alla y; per un totale di quattro. Cioè, due pure e due miste.

Il dubbio è : Nel momento in cui calcolo la due derivate parziali prime ( rispetto ad x ed y ) della funzione derivata parziale prima rispetto ad x in Po, è necessario che quest'ultima sia definita intorno a Po ?

[Bacchinif]

Nessuno ?

Forse mi sono spiegato male. Provo a riformulare la domanda.

Se voglio calcolare la derivata parziale rispetto alla y in Po della funzione derivata parziale rispetto alla x in Po, è necessario che quest'ultima sia definita intorno a Po ?

[dissonance]

Eh si. Veramente, a rigore, ti basterebbe che $\frac{\partial f}{\partial x}$ fosse definita solo in un segmentino verticale che contenga $P_0$. Ma tutti i teoremi sostanziali del calcolo differenziale richiedono che si abbia almeno un pochino di spazio attorno ad ogni punto. Quindi di solito si richiede che le derivate esistano "in un intorno".

[Bacchinif]

"dissonance":Eh si. Veramente, a rigore, ti basterebbe che $\frac{\partial f}{\partial x}$ fosse definita solo in un segmentino verticale che contenga $P_0$. Ma tutti i teoremi sostanziali del calcolo differenziale richiedono che si abbia almeno un pochino di spazio attorno ad ogni punto. Quindi di solito si richiede che le derivate esistano "in un intorno".

Grazie.
Infatti non tornava la faccenda. Anche io mi ero accorto che bastava solo che la funzione derivata parziale prima rispetto alla x in Po dovesse essere definita lungo quel segmento verticale.
Quindi, come valuto il tutto ? Diciamo che "convenzionalmente" si dice che è definita lì intorno ?

Edit : Colgo ancora l'occasione per ringraziarti e mi scuso per non essere stato abbastanza formale e conciso nel porre la mia domanda, come richiesto su questo forum. Avrei dovuto scrivere opportunamente $ P_0 $ e le altre notazioni; spero mi perdoniate .