Condizione necessaria del II ordine

[alfiere15]

Nella dimostrazione della condizione necessaria del II ordine, per funzioni di più variabili reali, il Marcellini-Sbordone afferma che:

$x_0$ punti di minimo, considerata $F = f circ varphi$, con $F(t) = f(x_0 +t lambda)$, considerata $F''(t) = sum_(i,j) f_(x_i x_j) (x_0 + t lambda) * lambda_i * lambda_j$, allora $F''(0) = sum_(i,j) f_(x_i x_j) (x_0) * lambda_i * lambda_j >= 0$

Non capisco perché sia $F''(0) >= 0$

[Antimius]

Perché se $x_0$ è punto di minimo per $F$, allora $0$ è punto di minimo per $t \mapsto F(x_0+\lambda t)$

[alfiere15]

E perché impongo che sia $>= 0$?

[Antimius]

Perché è una condizione necessaria per le funzioni a una variabile reale: $t \mapsto F(x_0 + \lambda t)$ (funzione a una variabile reale $t$) ha minimo in $0$. Allora la sua derivata seconda in $0$ dev'essere $geq 0$.

[alfiere15]

Giusto... mi era sfuggito il legame con la condizione necessaria del II ordine per le funzioni di una variabile!
Grazie mille!!

[Antimius]

Prego