Condizione necessaria convergenza serie

[Armstrong]

Buon pomeriggio,
non mi è ancora chiara una cosa sulla convergenza di serie..vi mostro un esercizio per spiegarmi meglio.
Il quesito è: studiare convergenza semplice ed assoluta al variare di $x in R$

$sum^(+oo) ((x-3)^n|x-1|^(n*sqrtn))/log(n)$

Il mio docente lo ha risolto come segue,
Criterio della radice per lo studio della convergenza assoluta quindi la serie diventa

$lim_(n -> +oo) (|x-3| |x-1|^sqrtn)/root(n)(log(n)) $

e poi ha studiato i vari casi

$ 0$ se $|x-1|<1$
$ +oo$ se $|x-1|>1$
$ 0 $ se $ x=3$

Se $|x-1|=1$ $ lim_(n -> +oo)|x-3|/root(n)(log(n))$ che vale

$ 3$ se $x=0$
$ 1$ se $x=2$


Quindi c'è convergenza assoluta se $0 E qui la parte che non ho capito
Non c'è convergenza, neanche semplice(il termine generale non è infinitesimo) se $x<=0$ oppure $ x>2,x!=3$
Con $x=2$ il criterio della radice non ci da informazioni bla bla bla.

La mia domanda è perchè il termine generale non è infinitesimo? Per affermare ciò non bisognerebbe verificare che il limite sia diverso da $0$ per $n->+oo$ del termine generale della serie di partenza?
Cioè non mi è chiaro perchè è stato fatto il lim per $n->+00$ delle serie con i valori assoluti quindi per definizione di convergenza assoluta se tale limite diverge non posso dire nulla sulla convergenza della serie di partenza,invece qui si dice che non converge perchè il termine generale non è infinitesimo..

[Ziben]

Ciao, sei certo che sia stato calcolato il limite per $x\rightarrow+\infty$? Il limite va calcolato per $n\rightarrow+\infty$. Ragiono insieme a te: cosa succede al termine generale quando $x\leq0$? Il binomio $(x-3)^n$ oscilla tra valori positivi e negativi man mano che $n$ cresce; infatti è sempre $<0$ e potremmo scrivere $=(-1)^n(3-x)^n$. Quel fattore viene moltiplicato per $abs(x-1)^(nsqrt(n))$ che è positivo e sempre $>1$ e va $+\infty$ per $n\rightarrow+\infty$. Il termine $1/log(n)$ pur tendendo a zero asintoticamente "non regge il confronto" (scusami la terminologia inappropriata) con le funzioni potenza che si trovano al numeratore. Pertanto, il termine generale non soltanto non tende a zero, in questo caso non ha nemmeno limite. Spero di non averti fatto confusione né tanto meno aver detto castronerie.

[Armstrong]

"Ziben":Ciao, sei certo che sia stato calcolato il limite per $x\rightarrow+\infty$? Il limite va calcolato per $n\rightarrow+\infty$. Ragiono insieme a te: cosa succede al termine generale quando $x\leq0$? Il binomio $(x-3)^n$ oscilla tra valori positivi e negativi man mano che $n$ cresce; infatti è sempre $<0$ e potremmo scrivere $=(-1)^n(3-x)^n$. Quel fattore viene moltiplicato per $abs(x-1)^(nsqrt(n))$ che è positivo e sempre $>1$ e va $+\infty$ per $n\rightarrow+\infty$. Il termine $1/log(n)$ pur tendendo a zero asintoticamente "non regge il confronto" (scusami la terminologia inappropriata) con le funzioni potenza che si trovano al numeratore. Pertanto, il termine generale non soltanto non tende a zero, in questo caso non ha nemmeno limite. Spero di non averti fatto confusione né tanto meno aver detto castronerie.

Grazie!

Si,scusami $ n->+oo$
ho corretto.

Però quello che non mi è chiaro è,trattandosi di una serie parametrica,come determinare i valori di $x$ tali che
$lim_(n -> +oo) ((x-3)^n|x-1|^(n*sqrtn))/log(n) = 0 $

così posso escludere a priori gli intervalli in cui la serie sicuramente NON converge.

Per fare ciò non capisco perchè si sia usata la convergenza assoluta.
Cioè è stata applicata convergenza assoluta,poi criterio della radice(dato che ora la serie a a termini costanti o meglio non negativi)e dal criterio della radice è risultato che per certi valori di $x$ il

$lim_(n -> +oo) (|x-3||x-1|^(sqrtn))/ root(n)(log(n)) $

diverge a $+oo$ e da qui si conclude che per codesti valori di $x$ NON è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza. Ma perchè il fatto che diverga a $+oo$ mi permettere di concludere in questo modo?
Siamo "sotto le condizioni" della convergenza assoluta quindi se diverge a $+oo$ non dovrebbe darmi zero informazioni riguardo la convergenza/divergenza?

[Ziben]

Io penso che il tuo prof è partito studiando la convergenza assoluta perché se la serie converge assolutamente allora converge anche semplicemente, c'è un teorema che lo afferma. Il tuo prof, sulla convergenza assoluta, conclude poi che dove la serie (dei termini assoluti) non converge allora diverge. A questo punto occorre tornare alla serie semplice e vedere cosa succede negli intervalli della $x$ dove la serie assoluta diverge; è qui che non si possono ancora prendere decisioni sul carattere della serie semplice. Perché una serie converga è necessario che il termine generale tenda a zero altrimenti si può concludere che di sicuro non converge. Il tuo prof afferma che non c'è convergenza per $x\leq0$, né assoluta perché lo ha stabilito in precedenza, né semplice perché se $x\leq0$ il termine generale non tende a zero e pertanto la serie non può convergere. Per fare un esempio prendiamo proprio $x=0$; la serie diventa $\Sigma((-3)^n abs(-1)^(nsqrt(n)))/log(n)= Sigma(-1)^n3^n/log(n)$ il cui termine generale non tende a 0. Se prendo un $x$ qualsiasi minore di zero si ripresenta una situazione simile

[Armstrong]

"Ziben":Io penso che il tuo prof è partito studiando la convergenza assoluta perché se la serie converge assolutamente allora converge anche semplicemente, c'è un teorema che lo afferma. Il tuo prof, sulla convergenza assoluta, conclude poi che dove la serie (dei termini assoluti) non converge allora diverge. A questo punto occorre tornare alla serie semplice e vedere cosa succede negli intervalli della $x$ dove la serie assoluta diverge; è qui che non si possono ancora prendere decisioni sul carattere della serie semplice. Perché una serie converga è necessario che il termine generale tenda a zero altrimenti si può concludere che di sicuro non converge. Il tuo prof afferma che non c'è convergenza per $x\leq0$, né assoluta perché lo ha stabilito in precedenza, né semplice perché se $x\leq0$ il termine generale non tende a zero e pertanto la serie non può convergere. Per fare un esempio prendiamo proprio $x=0$; la serie diventa $\Sigma((-3)^n abs(-1)^(nsqrt(n)))/log(n)= Sigma(-1)^n3^n/log(n)$ il cui termine generale non tende a 0. Se prendo un $x$ qualsiasi minore di zero si ripresenta una situazione simile

Grazie molte!! ho capito

Mi mancava questo passaggio logico: quando la serie con i moduli diverge, per tali valori di x non afferma a prescindere che la serie di partenza diverge,ma se la studia appunto per tali valori,e quindi il fatto che la condizione necessaria non è rispettata è causa di non convergenza.