Condizione Necessaria Convergenza - DIMOSTRAZIONE

[AmarildoA]

Salve ragazzi, avrei bisogno di aiuto con la comprensione della dimostrazione del teorema sulla condizione necessaria per la convergenza su semiretta, proposta dal prof a lezione.

DIM:
Per assurdo $(l != 0 -> f$ NON i.s.g. su $[a, +\infty))$
Se $l>0$ $\epsilon = l/2$ $\exists \overline{M} > 0:$ $|f(x)-l|<\epsilon, \forall x >= \overline{M}$
$-> l/2<=f(x)<=3l/2$, $\forall x >= \overline{M}$ $-> f(x)>=l/2$ $\forall x >= \overline{M}$

Per la monotonia dell'integrale di Riemann
$\rightarrow \int _\overline{M}^M f(x)dx >= l/2(M - \overline{M})->+\infty$ per $M -> +\infty$.

$\forall M >= \overline{M}$, $\int _a^M f(x)dx = \int _a^\overline{M} f(x)dx + \int _\overline{M}^M f(x)dx$ $->$ $\int _a^(+\infty) f(x)dx = +\infty$

Si conclude che $f$ non è i.s.g. su $[a,+\infty)$.
Se $l<0$ si fissa $\epsilon = |l|/2$ e si ragiona come sopra.

Quello che non riesco a capire è dove si cade nell'assurdo... Potreste spiegarmelo? Grazie Mille

[Rigel1]

"AmarildoA":
$\forall M >= \overline{M}$, $\int _a^M f(x)dx = \int _a^\overline{M} f(x)dx + \int _\overline{M}^M f(x)dx$ $->$ $\int _a^(+\infty) f(x)dx = +\infty$

Quello che non riesco a capire è dove si cade nell'assurdo... Potreste spiegarmelo? Grazie Mille

Per ipotesi tu sai che l'integrale converge, cioè che \(\int_a^{+\infty} f(x)\, dx\) è finito.