Condizione integrabilità su $RR$

[nato_pigro1]

Dire che $f$ è integrabile su $RR$ è equivalente a dire che
(*) $EE p>1$ e $EE r>0$ tali che $|f(x)|<=1/|x^p|$ per ogni $|x|>r$?

In altre parole esiste una $f$ che è integrabile su $RR$ ma che non soddisfa (*)?

[Seneca1]

Cosa sarebbe $r > 0$?

[nato_pigro1]

"Seneca":Cosa sarebbe $r > 0$?

si, scusa. Correggo.

[gugo82]

"nato_pigro":Dire che $f$ è integrabile su $RR$ è equivalente a dire che
(*) $EE p>1$ e $EE r>0$ tali che $|f(x)|<=1/|x^p|$ per ogni $|x|>r$?

No.
Quella che citi è una stima di quanto velocemente la tua integranda vada a \(0\); ma l'essere infinitesimo d'ordine superiore a qualche \(p>1\) è una condizione strettamente più forte dell'integrabilità.

Questo accade per due motivi.
Innanzitutto, perchè esistono funzioni integrabili alla Riemann su \(\mathbb{R}\) che non sono infinitesime all'infinito.
Ad esempio quella che si costruisce come segue.

Prendi la funzione "a triangolo":
\[
T(x) := \begin{cases} 1-|x| &\text{, se } x\in [-1,1] \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
e, per ogni \(n\in \mathbb{N}\), considera la funzione:
\[
T_n(x):=(n+1)^2\ T(2^n(x-n))\; :
\]
evidentemente ogni \(T_n\) è continua a supporto compatto (il supporto è \([n-2^{-n},n+2^{-n}]\)), quindi è integrabile secondo Riemann in \(\mathbb{R}\), ed il grafico di \(T_n\) è un triangolo isoscele con base \([n-2^{-n},n+2^{-n}]\) ed altezza \(n^2\), sicché:
\[
\int_{-\infty}^\infty T_n(x)\ \text{d} x = \frac{n^2}{2^n}\; .
\]
Considera ora la serie \(\sum T_n\): dato che gli addendi hanno supporti disgiunti, la serie converge dappertutto in \(\mathbb{R}\) verso una funzione nonnegativa che puoi chiamare \(f\):
\[
f(x):=\sum_{n=0}^\infty T_n(x)\; ;
\]
si verifica senza sforzo che \(f\) è continua in \(\mathbb{R}\), che ha:
\[
\liminf_{x\to \infty} f(x) =0 \qquad \text{e} \qquad \limsup_{x\to \infty} f(x)=\infty
\]
(per verificare la seconda relazione basta notare che \(f(n)=n^2\)), quindi \(f\) non è infinitesima all'infinito.
Tuttavia si dimostra che \(f\) è integrabile in \(\mathbb{R}\) e che:
\[
\int_{-\infty}^\infty f(x)\ \text{d} x= \sum_{n=0}^\infty \int_{-\infty}^\infty T_n(x)\ \text{d} x = \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n} <\infty\; .
\]

L'altro motivo, che risponde al tuo quesito:

"nato_pigro":In altre parole esiste una $f$ che è integrabile su $RR$ ma che non soddisfa (*)?

è che, anche se una funzione integrabile è infinitesima all'infinito, può andare a \(0\) piuttosto lentamente e perciò non deve necessariamente soddisfare la stima (*).

Ad esempio, prendi:
\[
f(x):=\begin{cases} 0 &\text{, se } x\leq e-1 \\ \text{lineare} &\text{, se } e-1\leq x\leq e \\ \frac{1}{x\ln^2 x} & \text{, se } x\geq e \end{cases}
\]
con la parte lineare scelta in modo da far risultare \(f\) continua.
La \(f\) è infinitesima all'infinito e si ha:
\[
\int_e^\infty f(x)\ \text{d} x = -\frac{1}{\ln x}\Bigg|_e^\infty = 1-\lim_{x\to \infty} \frac{1}{\ln x}=1
\]
quindi \(f\) è pure integrabile alla Riemann su \(\mathbb{R}\).
Tuttavia si vede che la \(f\) è infinitesimo d'ordine inferiore in \(\infty\) rispetto ad ogni potenza \(1/x^p\) con \(p>1\).

[nato_pigro1]

ah giusto, giusto. Il primo esempio non lo conoscevo, con il secondo mi sovviene la teoria: il criterio degli infinitesimi per la convergenza degli integrali impropri non esprime condizioni necessarie.