Condizione iniziale in un sistema-equadiff
Ciao.
Ho la seguente definizione:
Dato il sistema dinamico:
${(dotX=F(X)),(X(0)=X_0):}$
con $F:W to RR$ regolare eccetera eccetera...
il punto $S in W$ si dice attrattivo se esiste un suo intorno $U sube W$ tale che per ogni condizione iniziale $X_0 in U$ la soluzione $X(t)$ corrispondente ha S come limite: $lim_{t to +infty}X(t)=S$
Nell'uso pratico di questa definizione ho trovato la seguente argomentazione informale: per verificare che il punto S è attrattivo mostriamo che ha un intorno tale che ogni soluzione che <> in quell'intorno ha S come limite.
Intuitivamente la capisco solo che vorrei formalizzarla. Una soluzione che <> in un generico intorno U di S deve avere una c.i. che la identifica. Nei casi concreti con cui ho a che fare la c.i. che uso potrebbe essere al di fuori dell'intorno U considerato. Allora per verificare la definizione devo considerare una diversa condizione iniziale per quella soluzione. Ovvero devo traslare il tempo considerando la soluzione $X(t-t_0)$ anzichè la soluzione X(t). Il mio problema è che questa <> soluzione non verifica direttamente il problema su scritto ma (per l'appunto) un suo traslato.
Ora la domanda: intuitivamente funziona tutto ma se volessi scrivere per bene le cose? Spero di essere stato chiaro. Grazie.
Ho la seguente definizione:
Dato il sistema dinamico:
${(dotX=F(X)),(X(0)=X_0):}$
con $F:W to RR$ regolare eccetera eccetera...
il punto $S in W$ si dice attrattivo se esiste un suo intorno $U sube W$ tale che per ogni condizione iniziale $X_0 in U$ la soluzione $X(t)$ corrispondente ha S come limite: $lim_{t to +infty}X(t)=S$
Nell'uso pratico di questa definizione ho trovato la seguente argomentazione informale: per verificare che il punto S è attrattivo mostriamo che ha un intorno tale che ogni soluzione che <
Intuitivamente la capisco solo che vorrei formalizzarla. Una soluzione che <
Ora la domanda: intuitivamente funziona tutto ma se volessi scrivere per bene le cose? Spero di essere stato chiaro. Grazie.
Risposte
"Megan00b":
Ciao.
Ho la seguente definizione:
Dato il sistema dinamico:
${(dotX=F(X)),(X(0)=X_0):}$
con $F:W to RR$ regolare eccetera eccetera...
il punto $S in W$ si dice attrattivo se esiste un suo intorno $U sube W$ tale che per ogni condizione iniziale $X_0 in U$ la soluzione $X(t)$ corrispondente ha S come limite: $lim_{t to +infty}X(t)=S$
Nell'uso pratico di questa definizione ho trovato la seguente argomentazione informale: per verificare che il punto S è attrattivo mostriamo che ha un intorno tale che ogni soluzione che <> in quell'intorno ha S come limite.
Intuitivamente la capisco solo che vorrei formalizzarla. Una soluzione che <> in un generico intorno U di S deve avere una c.i. che la identifica. Nei casi concreti con cui ho a che fare la c.i. che uso potrebbe essere al di fuori dell'intorno U considerato. Allora per verificare la definizione devo considerare una diversa condizione iniziale per quella soluzione. Ovvero devo traslare il tempo considerando la soluzione $X(t-t_0)$ anzichè la soluzione X(t). Il mio problema è che questa <> soluzione non verifica direttamente il problema su scritto ma (per l'appunto) un suo traslato.
Ora la domanda: intuitivamente funziona tutto ma se volessi scrivere per bene le cose? Spero di essere stato chiaro. Grazie.
Non capisco la parte in grassetto... in particolare il cambio della condizione iniziale che tu fai... non ti serve a molto modificarla e naturalmente con la sua modifica cambi irrimediabilmente la $X$.
Il motivo per cui vorrei modificarla è per dare un senso all'espressione <>. In generale quella soluzione potrebbe avere condizione iniziale al di fuori di U eppure ci <> cioè ad un certo tempo positivo si trovano in 0. Invece la definizione data richiede che la condizione al limite sia verificata dalle soluzioni che hanno condizione iniziale in U cioè che al tempo 0 stiano in U. Il fatto è che le due proprietà coincidono: infatti $X(t)$ e $X(t-t_0)$ hanno lo stesso limite. Perchè dici che non mi serve modificarla?
A ripensarci può darsi che con l'espressione <> si intendesse proprio <> ovvero sta in U al tempo 0. Purtroppo non ho la possibilità di ottenere questo chiarimento dall'autore degli appunti su cui ho trovato questa espressione.
Faccio un esempio su un dubbio analogo:
Definizione di stabilità:
UN punto $S in W$ si dice stabile se per ogni intorno U di S esiste un intorno V di S (entrambi in W) tale che ogni soluzione con c.i. in V sta in U per $t>=0$
Poi trovo questo ragionamento:
UN punto stabile deve essere di equilibrio: se così non fosse prendiamo un punto $Y!=S$ sulla stessa soluzione, cioè con $Phi^h(S)=Y$.
Allora esiste un intorno U di S che non contiene Y; qualunque sia l'intorno V di S, esso contiene S, e ogni soluzione passante per S non può stare
definitivamente in U perché se per t=k passa per S, per t=k+h passa per Y che non è in U.
Anche qui invece di verificare che esiste una soluzione con condizione iniziale in V che esce da U (Che è la negazione della definizione data) usa una soluzione che <> ad un non_meglio_identificato tempo da S (cioè da un punto di V). Insomma a me sembra che stia barando.
[Nota: $Phi$ è il flusso integrale ed è definito come:
Il flusso integrale (detto anche soluzione generale ) di un sistema dinamico continuo è la famiglia ad un parametro di applicazioni $Phi^t:X_0 mapsto X(t)$
che per ogni tempo $t in RR$ mandano la condizione iniziale $X_0$ nel valore della corrispondente soluzione al tempo t.]
Definizione di stabilità:
UN punto $S in W$ si dice stabile se per ogni intorno U di S esiste un intorno V di S (entrambi in W) tale che ogni soluzione con c.i. in V sta in U per $t>=0$
Poi trovo questo ragionamento:
UN punto stabile deve essere di equilibrio: se così non fosse prendiamo un punto $Y!=S$ sulla stessa soluzione, cioè con $Phi^h(S)=Y$.
Allora esiste un intorno U di S che non contiene Y; qualunque sia l'intorno V di S, esso contiene S, e ogni soluzione passante per S non può stare
definitivamente in U perché se per t=k passa per S, per t=k+h passa per Y che non è in U.
Anche qui invece di verificare che esiste una soluzione con condizione iniziale in V che esce da U (Che è la negazione della definizione data) usa una soluzione che <
[Nota: $Phi$ è il flusso integrale ed è definito come:
Il flusso integrale (detto anche soluzione generale ) di un sistema dinamico continuo è la famiglia ad un parametro di applicazioni $Phi^t:X_0 mapsto X(t)$
che per ogni tempo $t in RR$ mandano la condizione iniziale $X_0$ nel valore della corrispondente soluzione al tempo t.]
"Megan00b":
A ripensarci può darsi che con l'espressione <> si intendesse proprio < > ovvero sta in U al tempo 0. Purtroppo non ho la possibilità di ottenere questo chiarimento dall'autore degli appunti su cui ho trovato questa espressione.
Da quel che ricordo, invece, penso che sia differente il suo significato.
Io credo che voglia dire che dall'essere $t_k>=\bar t$ discende che $X(t_k) in U$ con $\bar t$ fissato. Se vuoi prova a pensare alla Funzione logistica e prova a vedere quali sono i suoi punti attrattori....
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