Condizione di trasversalità
nel calcolo delle variazioni per minimizzare un funzionale che ha un valore finale libero devo usare 2 equazioni : Eulero e la trasversalità.
ho questo funzionale
$int x'(1+t^2x')dt$
x elemento di $C^1 [1,2]: x(1)=1$
da Eulero ottengo: $x= (1-c)/2t + c_1$
quindi la trasversalità la devo verificare al punto 2 facendo
$f_x' (2, x(2), x'(2)) = 0 $
cioè che devo scrivere? $ 1 + 8x' = 0$
e poi come ricavo i coefficienti $c$ e $c_1$?
grazie mille !!
ho questo funzionale
$int x'(1+t^2x')dt$
x elemento di $C^1 [1,2]: x(1)=1$
da Eulero ottengo: $x= (1-c)/2t + c_1$
quindi la trasversalità la devo verificare al punto 2 facendo
$f_x' (2, x(2), x'(2)) = 0 $
cioè che devo scrivere? $ 1 + 8x' = 0$
e poi come ricavo i coefficienti $c$ e $c_1$?
grazie mille !!
Risposte
Due domande:
l'integrale è in dt?
e le x che compaiono sono entrambe $x'$?
l'integrale è in dt?
e le x che compaiono sono entrambe $x'$?
si per entrambe le domande (ho dimenticato di scrivere il dt...)
Mi sembra, a meno che non abbia sbagliato i calcoli, che tu abbia commesso un errore già con l'equazione di Eulero.
Infatti, se chiamo $L(t,x,x')=x'(1+t^2x')$ l'equazione di Eulero è
$(del)/(delt)(delL)/(delx')=(delL)/(delx)$.
Ora $(delL)/(delx)=0$
$(delL)/(delx')=(del(x'+t^2(x')^2))/(delx)=1+2t^2x'$
e quindi ho
$(del)/(delt)(1+2t^2x')=0$
Allora $1+2t^2x'=C$ cioè $2t^2x'=C-1$ cioè $x'=(C-1)/2*1/t^2$ e quindi $x=(C-1)/2*\int 1/t^2 dt=(C-1)/2*(-1/t)+C_1=(1-C)/(2t)+C_1$
Infatti, se chiamo $L(t,x,x')=x'(1+t^2x')$ l'equazione di Eulero è
$(del)/(delt)(delL)/(delx')=(delL)/(delx)$.
Ora $(delL)/(delx)=0$
$(delL)/(delx')=(del(x'+t^2(x')^2))/(delx)=1+2t^2x'$
e quindi ho
$(del)/(delt)(1+2t^2x')=0$
Allora $1+2t^2x'=C$ cioè $2t^2x'=C-1$ cioè $x'=(C-1)/2*1/t^2$ e quindi $x=(C-1)/2*\int 1/t^2 dt=(C-1)/2*(-1/t)+C_1=(1-C)/(2t)+C_1$
si è vero... grazie... e poi come si va avanti?
Scrivimi la formula della condizione di trasversalità che non conosco così bene..
è quella che ho scritto sopra
$f_x' (t_1, x(t_1), x'(t_1)) = 0$
dove $t_1$ è il punto finale dove non ci sono costrizioni, quindi libero
in questo esempio che si va da 1 a 2, 1 è fissato perchè x(1)= 1 ma 2 è libero quindi a quel punto dobbiamo verificare la trasversalità
$f_x' (t_1, x(t_1), x'(t_1)) = 0$
dove $t_1$ è il punto finale dove non ci sono costrizioni, quindi libero
in questo esempio che si va da 1 a 2, 1 è fissato perchè x(1)= 1 ma 2 è libero quindi a quel punto dobbiamo verificare la trasversalità
E' semplice allora.
Abbaimo trovato con Eulero che:
$x(t)=(1-C)/(2t)+C_1$
e che $x'(t)=(C-1)/2*1/t^2$.
Ora devi semplicemente imporre le 2 condizioni che hai per trovare le 2 costanti $C$ e $C_1$, e le 2 condizioni che hai sono $x(1)=1$ e quella che viene dalla condizione di trasversalità cioè $1+8x'(2)=0$.
Hai capito?
Abbaimo trovato con Eulero che:
$x(t)=(1-C)/(2t)+C_1$
e che $x'(t)=(C-1)/2*1/t^2$.
Ora devi semplicemente imporre le 2 condizioni che hai per trovare le 2 costanti $C$ e $C_1$, e le 2 condizioni che hai sono $x(1)=1$ e quella che viene dalla condizione di trasversalità cioè $1+8x'(2)=0$.
Hai capito?
aaaaa ora ho capito! che scecca che sono! devo ficcare $(c-1)/(2* 4)$ dentro a $1 + 8*x'(2) = 0$ ! giusto! e poi a sistema con $1= (1-c)/2 + c_1$..
grazie mille!!!!!!
grazie mille!!!!!!
Esatto.
Ora sei a posto.
ciao
Ora sei a posto.
ciao
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