Condizione di sommabilità per una funzione
Diciamo che una funzione è sommabile in un intervallo [a,b] se \(\displaystyle \int^{a}_b|f(x)|dx < +\infty \), se ho una funzione del tipo \(\displaystyle f(x) = \)
\(\displaystyle \frac{1}{|x|^\beta} \) \(\displaystyle x \in [\pi,-\pi]\setminus \{0\} \)
\(\displaystyle 1\) per \(\displaystyle x = 0 \), quello che non capisco è il perchè la funzione non sia sommabile per i valori di \(\displaystyle \beta \le 1 \), e invece sommabile per \(\displaystyle \beta <1 \), se mi calcolo l'integrale \(\displaystyle \int^{\pi}_{-\pi} \frac{1}{|x|^\beta}dx = \frac{1}{-\beta+1}[x^{-\beta+1}]^{\pi}_{-\pi}=\frac{2\pi^{-\beta+1}}{-\beta+1}\), come faccio a capire che la funzione è sommabile?
\(\displaystyle \frac{1}{|x|^\beta} \) \(\displaystyle x \in [\pi,-\pi]\setminus \{0\} \)
\(\displaystyle 1\) per \(\displaystyle x = 0 \), quello che non capisco è il perchè la funzione non sia sommabile per i valori di \(\displaystyle \beta \le 1 \), e invece sommabile per \(\displaystyle \beta <1 \), se mi calcolo l'integrale \(\displaystyle \int^{\pi}_{-\pi} \frac{1}{|x|^\beta}dx = \frac{1}{-\beta+1}[x^{-\beta+1}]^{\pi}_{-\pi}=\frac{2\pi^{-\beta+1}}{-\beta+1}\), come faccio a capire che la funzione è sommabile?
Risposte
Quando il risultato che hai ottenuto è minore di infinito?
Il problema è vicino a $0$.
Io farei così: la funzione $1/(|x|^beta)$ è pari, dunque $int_(-pi)^(pi) (dx)/(|x|^beta) = 2* int_(0)^(pi) (dx)/(|x|^beta) = 2int_(0)^(pi) (dx)/(x^beta)$
Prova ora a risolvere $int_(0)^(pi) (dx)/(x^beta)$
Io farei così: la funzione $1/(|x|^beta)$ è pari, dunque $int_(-pi)^(pi) (dx)/(|x|^beta) = 2* int_(0)^(pi) (dx)/(|x|^beta) = 2int_(0)^(pi) (dx)/(x^beta)$
Prova ora a risolvere $int_(0)^(pi) (dx)/(x^beta)$
ok grazie tutto più semplice ora
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