Condizione di olomorfia in coordinate polari
Posto di seguito un passo di alcuni miei appunti che non ho compreso pienamente.
Sia $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ una funzione olomorfa in un aperto $Omega$. Poniamo $z=rhoe^(itheta) in Omega'$ tale che il corrispondente punto $z=rhoe^(itheta) in Omega$.
Poniamo
$g(rho,theta)=f(rhoe^(itheta))=u(rhocostheta,rhosintheta)+iv(rhocostheta,rhosintheta)$, $(rho,theta)in Omega'$
Si ha allora sfruttando le condizioni di Olomorfia
$(delg)/(delrho)=(u_x+iv_x)costheta+i(v_y-iu_y)sintheta$
Mi sapreste spiegare quest'ultimo passaggio?
Sia $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ una funzione olomorfa in un aperto $Omega$. Poniamo $z=rhoe^(itheta) in Omega'$ tale che il corrispondente punto $z=rhoe^(itheta) in Omega$.
Poniamo
$g(rho,theta)=f(rhoe^(itheta))=u(rhocostheta,rhosintheta)+iv(rhocostheta,rhosintheta)$, $(rho,theta)in Omega'$
Si ha allora sfruttando le condizioni di Olomorfia
$(delg)/(delrho)=(u_x+iv_x)costheta+i(v_y-iu_y)sintheta$
Mi sapreste spiegare quest'ultimo passaggio?
Risposte
Non è difficile, devi fare qualche conto...
\[ u_\rho = u_x \cos \theta + u_y \sin \theta\]
\[ v_\rho = v_x \cos \theta + v_y \sin \theta\]
Allora \[ g_\rho = ( u + i v )_\rho = u_x \cos \theta + u_y \sin \theta + i ( v_x \cos \theta + v_y \sin \theta ) \]
\[ = ( u_x + i v_x ) \cos \theta + \underbrace{( u_y + i v_y )}_{\text{(*)}} \sin \theta \]
Puoi dunque riscrivere \((*)\) usando le equazioni di Cauchy-Riemann.
\[ u_\rho = u_x \cos \theta + u_y \sin \theta\]
\[ v_\rho = v_x \cos \theta + v_y \sin \theta\]
Allora \[ g_\rho = ( u + i v )_\rho = u_x \cos \theta + u_y \sin \theta + i ( v_x \cos \theta + v_y \sin \theta ) \]
\[ = ( u_x + i v_x ) \cos \theta + \underbrace{( u_y + i v_y )}_{\text{(*)}} \sin \theta \]
Puoi dunque riscrivere \((*)\) usando le equazioni di Cauchy-Riemann.
Mi potresti spiegare come si ottengono $u_rho=u_xcostheta+u_ysintheta$ e $v_rho=v_xcostheta+v_ysintheta$? Per il resto tutto chiaro 
[strike][/strike]Considera la seguente composizione di funzioni:
\[ (\rho , \theta) \longmapsto \; \begin{matrix}\; \\ (x(\rho, \theta) , y(\rho, \theta)) \\ ( \rho \cos \theta , \rho \sin \theta ) \end{matrix} \; \longmapsto (u(x,y) , v(x,y)) \]
La matrice jacobiana della composizione è il prodotto delle due matrici jacobiane:
\[ J = \left ( \begin{matrix} u_\rho & u_\theta \\ v_\rho & v_\theta \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{matrix} \right ) \cdot \left ( \begin{matrix} x_\rho & x_\theta \\ y_\rho & y_\theta \end{matrix} \right )
= \left ( \begin{matrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{matrix} \right ) \cdot \left ( \begin{matrix} \cos \theta & - \rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{matrix} \right ) \]
Quindi per l'espressione di $u_\rho$ basta considerare l'elemento di indice $1,1$ nella matrice $J$ una volta fatto quel prodotto righe per colonne.
\[ (\rho , \theta) \longmapsto \; \begin{matrix}\; \\ (x(\rho, \theta) , y(\rho, \theta)) \\ ( \rho \cos \theta , \rho \sin \theta ) \end{matrix} \; \longmapsto (u(x,y) , v(x,y)) \]
La matrice jacobiana della composizione è il prodotto delle due matrici jacobiane:
\[ J = \left ( \begin{matrix} u_\rho & u_\theta \\ v_\rho & v_\theta \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{matrix} \right ) \cdot \left ( \begin{matrix} x_\rho & x_\theta \\ y_\rho & y_\theta \end{matrix} \right )
= \left ( \begin{matrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{matrix} \right ) \cdot \left ( \begin{matrix} \cos \theta & - \rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{matrix} \right ) \]
Quindi per l'espressione di $u_\rho$ basta considerare l'elemento di indice $1,1$ nella matrice $J$ una volta fatto quel prodotto righe per colonne.
Ti ringrazio. Ora è tutto chiaro.
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