Condizione di derivabilità
Buongiorno, quando mi chiedono se la funzione è derivabile e vedo che ha un punto di discontinuità nel dominio, devo calcolare il limite destro e sinistro in quel punto per vedere se coincidono e poi fare il rapporto incrementale sx e dx sempre in quel punto, o è sufficiente quest'ultima parte?
Risposte
Perchè ho visto che è possibile farne la derivata prima, calcolarne il dominio ed intersecarlo con la funzione di partenza. Però così facendo dai già per scontato che sia derivabile
Fai un esempio, perché non si capisce bene cosa vuoi sapere. 
$f(x)=sin(\pix)arcsin(1/x)$ Dov'è differenziabile? Ho fatto il dominio della derivata. Penso di aver capito.
Poi mi chiede dov'è invertibile e studio la monotonia della derivata per vedere dov'è crescente o descrescente e quindi sapere dov'è iniettiva.
Mi viene una roba
$cos(\pix)arcsin(1/x)-sen(\pix)/((x^2)sqrt(1-1/x^2))$ $>0$ Come cavolo la studio?
Poi mi chiede dov'è invertibile e studio la monotonia della derivata per vedere dov'è crescente o descrescente e quindi sapere dov'è iniettiva.
Mi viene una roba
$cos(\pix)arcsin(1/x)-sen(\pix)/((x^2)sqrt(1-1/x^2))$ $>0$ Come cavolo la studio?
"vivi96":
$f(x)=sin(\pix)arcsin(1/x)$ Dov'è differenziabile? Ho fatto il dominio della derivata. Penso di aver capito.
Perché?
"vivi96":
Poi mi chiede dov'è invertibile e studio la monotonia della derivata per vedere dov'è crescente o descrescente e quindi sapere dov'è iniettiva.
Mi viene una roba
$cos(\pix)arcsin(1/x)-sen(\pix)/((x^2)sqrt(1-1/x^2))$ $>0$ Come cavolo la studio?
Sicura che serva?
"gugo82":
[quote="vivi96"]$f(x)=sin(\pix)arcsin(1/x)$ Dov'è differenziabile? Ho fatto il dominio della derivata. Penso di aver capito.
Perché?
Perchè il dominio mi dice dove non è derivabile.
"vivi96":
Poi mi chiede dov'è invertibile e studio la monotonia della derivata per vedere dov'è crescente o descrescente e quindi sapere dov'è iniettiva.
Mi viene una roba
$cos(\pix)arcsin(1/x)-sen(\pix)/((x^2)sqrt(1-1/x^2))$ $>0$ Come cavolo la studio?
Sicura che serva?[/quote]
Non ne sono sicura per niente, come potrei fare?
"vivi96":
[quote="gugo82"][quote="vivi96"]$f(x)=sin(\pix)arcsin(1/x)$ Dov'è differenziabile? Ho fatto il dominio della derivata. Penso di aver capito.
Perché?[/quote]
Perchè il dominio mi dice dove non è derivabile.[/quote]
Sicura?
E allora la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2\ \sin \frac{1}{x} &\text {, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
dov'è derivabile?
Non devo vedere il dominio di f, poi quello della sua derivata e discuterli?
L’unica cosa che devi fare è riflettere sul problema, sapendo che ci sono situazioni strane ed applicando ciò che sai delle funzioni elementari e delle loro proprietà di base.
Ad esempio, la tua funzione $f(x) := sin( pi x)\ arcsin( 1/x)$ è definita in $X = ]-oo, -1] uu [1, +oo[$ ed è il prodotto della funzione $sin (pi x)$, la quale è continua e derivabile quante volte si vuole in $RR$, e della funzione $arcsin(1/x)$, la quale è certamente continua in $]-oo, -1] uu [1,+oo[$ (poiché composizione di funzioni continue) è certamente derivabile in \( \operatorname{int} X = ]-\infty , -1[ \cup ]1,+\infty[\) (poiché come sai $arcsin$ ha problemi di derivabilità in $+-1$, e l’argomento di $arcsin$, cioè $1/x$, prende i valori $+-1$ per $x = +-1$).
Dato che il prodotto di funzioni continue [risp. derivabili] è continuo [risp. derivabile], la tua $f$ è certamente continua in $X$ e derivabile in \(\operatorname{int} X\).
Osserva che con questo ragionamento ho determinato l’insieme di derivabilità della funzione senza calcolare la derivata, cioè “a priori”; questo è molto importante, poiché la derivata è una funzione e per costruire una funzione bisogna conoscere prima il suo dominio, poi la legge di assegnazione (che si calcola col solito procedimento meccanico!).
La funzione derivata prima, cioè $f’(x)$, è certamente calcolabile in \(\operatorname{int} X = ]-\infty , -1[ \cup ]1, +\infty[\) e vale:
\[
f^\prime (x) = \pi\ \cos (\pi x)\ \arcsin \left( \frac{1}{x} \right) - \sin (\pi x)\ \frac{1}{\sqrt{1 - 1/x^2}}\ \frac{1}{x^2}\; ,
\]
come avevi giustamente calcolato tu.
Ora, potresti chiederti se nei punti $+-1$ (che sono punti in cui la funzione è continua!) la tua $f(x)$ è derivabile da sinistra/destra. Per rispondere a tale quesito, o calcoli esplicitamente il limite sinistro/destro del rapporto incrementale oppure passi al limite la $f’(x)$ applicando una notevole conseguenza del Teorema di de l’Hôpital.
Per quanto riguardalo studio della monotònia, è chiaro che la via maestra è lo studio del segno della derivata prima in ognuno degli intervalli che compongono il dominio. Nel caso specifico non è un compito proprio agevole, ma a volte può essere un po’ semplificato... Ad esempio, la funzione che ti hanno assegnato è pari (perché è prodotto di funzioni dispari), quindi puoi limitarti a guardare cosa succede per $x>=1$. Per tali valori di $x$, la derivata diventa:
\[
f^\prime (x) = \pi\ \cos (\pi x)\ \arcsin \left( \frac{1}{x} \right) - \sin (\pi x)\ \frac{1}{x\ \sqrt{x^2 - 1}}\; ,
\]
e non abbiamo semplificato quasi nulla.
Quindi andiamo a vedere cosa combina la $f(x)$ sempre per $x>=1$ facendo altri tipi di considerazioni. Ad esempio, dato che $arcsin$ è positivo e strettamente crescente per valori positivi dell’argomento e che $1/x$ è positivo e strettamente decrescente per $x>=1$, la funzione composta $arcsin(1/x)$ è positiva è strettamente decrescente in $[1,+oo[$.
D’altra parte, la funzione $sin(pi x)$ è oscillante in $[1,+oo[$ trai valori $+-1$.
Quindi, qualitativamente, possiamo affermare che $f(x)$ è una funzione oscillante in $[1,+oo[$ è che il suo grafico è compreso nella zona delimitata dai grafici delle funzioni $+- arcsin(1/x)$.
Lo stesso vale, per motivi di simmetria, in $]-oo,-1]$.
Infatti dando in pasto la tua funzione ad un software qualsiasi trovi un grafico del genere, come previsto.
Se vuoi approfondire il discorso, puoi pensare di risolvere il problema dello studio del segno della derivata prima sfruttando proprietà delle funzioni elementari (ad esempio, monotònia e convessità) mediante qualche variante del cosiddetto metodo grafico... Ma è chiaro che esercizi di tale complessità portano via tanto tempo e, seppur utili dal punto di vista del problema solving, sono scarsamente utili in vista di un esame.
Ad esempio, la tua funzione $f(x) := sin( pi x)\ arcsin( 1/x)$ è definita in $X = ]-oo, -1] uu [1, +oo[$ ed è il prodotto della funzione $sin (pi x)$, la quale è continua e derivabile quante volte si vuole in $RR$, e della funzione $arcsin(1/x)$, la quale è certamente continua in $]-oo, -1] uu [1,+oo[$ (poiché composizione di funzioni continue) è certamente derivabile in \( \operatorname{int} X = ]-\infty , -1[ \cup ]1,+\infty[\) (poiché come sai $arcsin$ ha problemi di derivabilità in $+-1$, e l’argomento di $arcsin$, cioè $1/x$, prende i valori $+-1$ per $x = +-1$).
Dato che il prodotto di funzioni continue [risp. derivabili] è continuo [risp. derivabile], la tua $f$ è certamente continua in $X$ e derivabile in \(\operatorname{int} X\).
Osserva che con questo ragionamento ho determinato l’insieme di derivabilità della funzione senza calcolare la derivata, cioè “a priori”; questo è molto importante, poiché la derivata è una funzione e per costruire una funzione bisogna conoscere prima il suo dominio, poi la legge di assegnazione (che si calcola col solito procedimento meccanico!).
La funzione derivata prima, cioè $f’(x)$, è certamente calcolabile in \(\operatorname{int} X = ]-\infty , -1[ \cup ]1, +\infty[\) e vale:
\[
f^\prime (x) = \pi\ \cos (\pi x)\ \arcsin \left( \frac{1}{x} \right) - \sin (\pi x)\ \frac{1}{\sqrt{1 - 1/x^2}}\ \frac{1}{x^2}\; ,
\]
come avevi giustamente calcolato tu.
Ora, potresti chiederti se nei punti $+-1$ (che sono punti in cui la funzione è continua!) la tua $f(x)$ è derivabile da sinistra/destra. Per rispondere a tale quesito, o calcoli esplicitamente il limite sinistro/destro del rapporto incrementale oppure passi al limite la $f’(x)$ applicando una notevole conseguenza del Teorema di de l’Hôpital.
Per quanto riguardalo studio della monotònia, è chiaro che la via maestra è lo studio del segno della derivata prima in ognuno degli intervalli che compongono il dominio. Nel caso specifico non è un compito proprio agevole, ma a volte può essere un po’ semplificato... Ad esempio, la funzione che ti hanno assegnato è pari (perché è prodotto di funzioni dispari), quindi puoi limitarti a guardare cosa succede per $x>=1$. Per tali valori di $x$, la derivata diventa:
\[
f^\prime (x) = \pi\ \cos (\pi x)\ \arcsin \left( \frac{1}{x} \right) - \sin (\pi x)\ \frac{1}{x\ \sqrt{x^2 - 1}}\; ,
\]
e non abbiamo semplificato quasi nulla.
Quindi andiamo a vedere cosa combina la $f(x)$ sempre per $x>=1$ facendo altri tipi di considerazioni. Ad esempio, dato che $arcsin$ è positivo e strettamente crescente per valori positivi dell’argomento e che $1/x$ è positivo e strettamente decrescente per $x>=1$, la funzione composta $arcsin(1/x)$ è positiva è strettamente decrescente in $[1,+oo[$.
D’altra parte, la funzione $sin(pi x)$ è oscillante in $[1,+oo[$ trai valori $+-1$.
Quindi, qualitativamente, possiamo affermare che $f(x)$ è una funzione oscillante in $[1,+oo[$ è che il suo grafico è compreso nella zona delimitata dai grafici delle funzioni $+- arcsin(1/x)$.
Lo stesso vale, per motivi di simmetria, in $]-oo,-1]$.
Infatti dando in pasto la tua funzione ad un software qualsiasi trovi un grafico del genere, come previsto.
Se vuoi approfondire il discorso, puoi pensare di risolvere il problema dello studio del segno della derivata prima sfruttando proprietà delle funzioni elementari (ad esempio, monotònia e convessità) mediante qualche variante del cosiddetto metodo grafico... Ma è chiaro che esercizi di tale complessità portano via tanto tempo e, seppur utili dal punto di vista del problema solving, sono scarsamente utili in vista di un esame.
Ti ringrazio con tutto il cuore, sono proprio queste considerazioni che non so mai vedere perchè appunto difficilmente gli esercizi vengono svolti in questo modo! Comunque trovo che mi aiutino nell'intuire la soluzione e rendermi conto se il risultato ottenuto possa essere corretto o meno. Purtroppo sono esami di anni precedenti che il mio professore ha raccolto in un libro, li sto provando tutti, ma con molta difficoltà
"gugo82":
Osserva che con questo ragionamento ho determinato l’insieme di derivabilità della funzione senza calcolare la derivata, cioè “a priori”; questo è molto importante, poiché la derivata è una funzione e per costruire una funzione bisogna conoscere prima il suo dominio, poi la legge di assegnazione (che si calcola col solito procedimento meccanico!).
[...]
Ora, potresti chiederti se nei punti $+-1$ (che sono punti in cui la funzione è continua!) la tua $f(x)$ è derivabile da sinistra/destra. Per rispondere a tale quesito, o calcoli esplicitamente il limite sinistro/destro del rapporto incrementale oppure passi al limite la $f’(x)$ applicando una notevole conseguenza del Teorema di de l’Hôpital.
Queste sono cose che non tutti si prendono la briga di spiegare nel dettaglio, perché sono cose fastidiose e con un po' di pratica vengono automatiche, però sono importanti.
A me poi danno molto fastidio i "praticoni", che se ne vengono con il metodo delle superiori e lo spacciano per maturità matematica. Su questo forum, è importante ci sia gente preparata che faccia sistematicamente delle osservazioni come queste di Gugo. Di nuovo
"vivi96":
Ti ringrazio con tutto il cuore, sono proprio queste considerazioni che non so mai vedere perchè appunto difficilmente gli esercizi vengono svolti in questo modo! Comunque trovo che mi aiutino nell'intuire la soluzione e rendermi conto se il risultato ottenuto possa essere corretto o meno.
Prego, figurati.
"vivi96":
Purtroppo sono esami di anni precedenti che il mio professore ha raccolto in un libro, li sto provando tutti, ma con molta difficoltà
Ok, vivi96... Ma ricorda sempre di stabilire un legame tra la teoria (che va studiata prima) con gli esercizi (che vanno svolti poi).
Cerca di fare le cose passo-passo, soprattutto perché non hai basi molto solide e ti serve capire ogni singolo passaggio che fai.
@dissonance: Ma grazie a te... Ricevere un tuo ringraziamento fa quasi più piacere ora, che vengono da un matematico maturo, rispetto a 10 anni fa.
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