Condizione di concavità per funzioni continue
Ho una funzione continua $f:RR^n->RR$ tale che $f(x/2+y/2)>=f(x)/2+f(y)/2$ $AAx,y\inRR^n$.
Vorrei provare che $f$ è necessariamente concava, cioè che $f(tx+(1-t)y)>=tf(x)+(1-t)f(y)$ $AAx,y\inRR^n$ e $AAt\in[0,1]$.
In che modo posso usare la continuità per estendere la formula con peso $t=1/2$ alla formula generale con peso $t\in[0,1]?$
Vorrei provare che $f$ è necessariamente concava, cioè che $f(tx+(1-t)y)>=tf(x)+(1-t)f(y)$ $AAx,y\inRR^n$ e $AAt\in[0,1]$.
In che modo posso usare la continuità per estendere la formula con peso $t=1/2$ alla formula generale con peso $t\in[0,1]?$
Risposte
Approssimando coi numeri diadici?
(Prima cosa che mi è venuta in mente, vedi un po' se funziona...)
(Prima cosa che mi è venuta in mente, vedi un po' se funziona...)
Non è super-facile. https://math.stackexchange.com/q/83383/8157
Si tratta di dimostrare che un funzione midpoint-convessa è convessa per combinazioni di numeri razionali, o anche solo di razionali diadici, quelli che dice Gugo. (Sono i razionali con una potenza di 2 al denominatore).
Siccome questi insiemi sono densi nei reali, si conclude per continuità. La prima parte è un po’ rognosa, richiede di fare un ragionamento induttivo che non ho mai davvero capito.
Si tratta di dimostrare che un funzione midpoint-convessa è convessa per combinazioni di numeri razionali, o anche solo di razionali diadici, quelli che dice Gugo. (Sono i razionali con una potenza di 2 al denominatore).
Siccome questi insiemi sono densi nei reali, si conclude per continuità. La prima parte è un po’ rognosa, richiede di fare un ragionamento induttivo che non ho mai davvero capito.
Suppongo che $t\in[0,1]$ sia un numero diadico, allora $t=a/2^n$ con $a,n\inNN$ e 0<=a<=2^n.
Voglio dimostrare che $f(a/2^nx+(1-a/2^n)y)>=a/2^nf(x)+(1-a/2^n)f(y)$.
Provo a procedere per induzione su $n$.
Caso base: se $n=0$ allora la formula da dimostrare si riduce a $f(ax+(1-a)y)>=af(x)+(1-a)f(y)$ con $0<=a<=1$; nel caso $a=0$ si ha che $f(y)>=f(y)$ e nel caso $a=1$ si ha che $f(x)>=f(x)$.
Passo induttivo: suppongo che $f(a/2^nx+(1-a/2^n)y)>=a/2^nf(x)+(1-a/2^n)f(y)$, voglio dimostrare che $f(a/2^(n+1)x+(1-a/2^(n+1))y)>=a/2^(n+1)f(x)+(1-a/2^(n+1))f(y)$.
L'unico tentativo che mi è venuto in mente è scrivere che $f(a/2^(n+1)x+(1-a/2^(n+1))y)=f(a/2^(n+1)x+((2^(n+1)-a)/2^(n+1))y)=f(1/2a/2^nx+1/2((2^(n+1)-a)/2^n)y)>=1/2f(a/2^nx)+1/2f((2^(n+1)-a)/2^ny)$, cioè ho usato la condizione di midpoint-convessità di f, ma ora non saprei come procedere.
Voglio dimostrare che $f(a/2^nx+(1-a/2^n)y)>=a/2^nf(x)+(1-a/2^n)f(y)$.
Provo a procedere per induzione su $n$.
Caso base: se $n=0$ allora la formula da dimostrare si riduce a $f(ax+(1-a)y)>=af(x)+(1-a)f(y)$ con $0<=a<=1$; nel caso $a=0$ si ha che $f(y)>=f(y)$ e nel caso $a=1$ si ha che $f(x)>=f(x)$.
Passo induttivo: suppongo che $f(a/2^nx+(1-a/2^n)y)>=a/2^nf(x)+(1-a/2^n)f(y)$, voglio dimostrare che $f(a/2^(n+1)x+(1-a/2^(n+1))y)>=a/2^(n+1)f(x)+(1-a/2^(n+1))f(y)$.
L'unico tentativo che mi è venuto in mente è scrivere che $f(a/2^(n+1)x+(1-a/2^(n+1))y)=f(a/2^(n+1)x+((2^(n+1)-a)/2^(n+1))y)=f(1/2a/2^nx+1/2((2^(n+1)-a)/2^n)y)>=1/2f(a/2^nx)+1/2f((2^(n+1)-a)/2^ny)$, cioè ho usato la condizione di midpoint-convessità di f, ma ora non saprei come procedere.
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