Condizione di appartenenza ad $L^p (RR^d)$
ciao a tutti
potete dirmi se il mio ragionamento va bene?
testo:
per quali $\alpha , \beta $
$f \in L^p (RR^d)$?
$f(x) = 1/(|x|^(\alpha) (|x|^2 +1)^(\beta))$
devo trovare una 'condizione' per 4 parametri: $\alpha , \beta, p , d $
per definizione:
$\int_(RR^d) |f|^p dx < + oo$
ovvero:
dentro l'integrale, il segno di $x$ non cambia la convergenza:
$|1/(|x|^(\alpha) (|x|^2 +1)^(\beta))|^p = 1/(|x|^((\alpha) p) (|x|^2 +1)^((\beta) p))$
è una serie geometrica equivalente ed ha stesso 'comportamento di:
$1/(|x|^((\alpha) p) (|x|^(2 (\beta) p))$
la condizione da verificarsi è:
$p ( \alpha + 2 \beta ) > 1 $
ad esempio vanno bene valori:
1) $\alpha = \beta = 1$ e $p=2$
2) $\alpha = 1 , \beta = 1/2$ e $p=2$
vi trovate con me?
inoltre vi chiedo, $R$ va bene che sia d-dimensionale? cioè più generale possibile?
potete dirmi se il mio ragionamento va bene?
testo:
per quali $\alpha , \beta $
$f \in L^p (RR^d)$?
$f(x) = 1/(|x|^(\alpha) (|x|^2 +1)^(\beta))$
devo trovare una 'condizione' per 4 parametri: $\alpha , \beta, p , d $
per definizione:
$\int_(RR^d) |f|^p dx < + oo$
ovvero:
dentro l'integrale, il segno di $x$ non cambia la convergenza:
$|1/(|x|^(\alpha) (|x|^2 +1)^(\beta))|^p = 1/(|x|^((\alpha) p) (|x|^2 +1)^((\beta) p))$
è una serie geometrica equivalente ed ha stesso 'comportamento di:
$1/(|x|^((\alpha) p) (|x|^(2 (\beta) p))$
la condizione da verificarsi è:
$p ( \alpha + 2 \beta ) > 1 $
ad esempio vanno bene valori:
1) $\alpha = \beta = 1$ e $p=2$
2) $\alpha = 1 , \beta = 1/2$ e $p=2$
vi trovate con me?
inoltre vi chiedo, $R$ va bene che sia d-dimensionale? cioè più generale possibile?
Risposte
Nota che le condizioni che hai trovato prescindono dalla dimensione $d$ dello spazio ambiente... Questo non può essere giusto per svariati motivi, uno dei quali è accennato sotto.
Dato che la funzione integranda è radiale, ossia del tipo \(f(x)=\phi (|x|)\) (i.e., dipende unicamente dalla quantità $|x|$), si può scrivere l'integrale che restituisce \(\|f\|_p^p\) in coordinate polari, ottenendo in particolare:
\[
\begin{split}
\int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|^p\ \text{d} x &= d\omega_d\ \int_0^\infty |\phi (r)|^p r^{d-1}\ \text{d} r\\
&= d\omega_d\ \int_0^\infty \frac{1}{r^{\alpha p} (r^2+1)^{\beta p}}\ r^{d-1}\ \text{d} r\\
&= d\omega_d\ \int_0^\infty \frac{1}{r^{\alpha p+1-d} (r^2+1)^{\beta p}}\ \text{d} r
\end{split}
\]
(in cui \(\omega_d\) è la misra della palla unitaria di \(\mathbb{R}^d\)); quindi tutto si riduce ad un banale esercizio di Analisi I.
Dato che la funzione integranda è radiale, ossia del tipo \(f(x)=\phi (|x|)\) (i.e., dipende unicamente dalla quantità $|x|$), si può scrivere l'integrale che restituisce \(\|f\|_p^p\) in coordinate polari, ottenendo in particolare:
\[
\begin{split}
\int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|^p\ \text{d} x &= d\omega_d\ \int_0^\infty |\phi (r)|^p r^{d-1}\ \text{d} r\\
&= d\omega_d\ \int_0^\infty \frac{1}{r^{\alpha p} (r^2+1)^{\beta p}}\ r^{d-1}\ \text{d} r\\
&= d\omega_d\ \int_0^\infty \frac{1}{r^{\alpha p+1-d} (r^2+1)^{\beta p}}\ \text{d} r
\end{split}
\]
(in cui \(\omega_d\) è la misra della palla unitaria di \(\mathbb{R}^d\)); quindi tutto si riduce ad un banale esercizio di Analisi I.
Unica cosa che non riesco a capire è da dove esce $r^(d-1)$, (sopratutto $r^d$..) e credo che abbia sicuramente a che fare con il cambiamento di coordinate che hai fatto...
Pensa al passaggio in coordinate polari in \(2\)D e \(3\)D: nel primo caso c'è un fattore \(r\) nello jacobiano, nel secondo c'è un fattore \(r^2\)... In ambo i casi, quindi, l'esponente di \(r\) è proprio \(d-1\) con \(d=2,3\).
Nel caso generale, l'integrazione in coordinate polari si fa mediante la formula:
\[
\int_{\mathbb{R}^d} f\ \text{d} x = \int_0^\infty \left( \int_{\partial B(o;r)} f\ \text{d} \sigma \right)\ \text{d} r
\]
sicché, se \(f\) è radiale, i.e. se \(f(x)=\phi (|x|)=\phi (r)\), trovi:
\[
\begin{split}
\int_{\mathbb{R}^d} f\ \text{d} x &= \int_0^\infty \left( \int_{\partial B(o;r)} \phi (r)\ \text{d} \sigma \right)\ \text{d} r\\
&= \int_0^\infty \phi (r)\ \underbrace{\left( \int_{\partial B(o;r)} \text{d} \sigma \right)}_{\text{perimetro della frontiera di } B(o;r)}\ \text{d} r\\
&= \int_0^\infty \phi (r)\ \omega_d\ r^{d-1}\ \text{d} r\\
&= \omega_d\ \int_0^\infty \phi (r)\ r^{d-1}\ \text{d} r\; ,
\end{split}
\]
che è la formula che ho usato sopra. Quindi il fattore \(r^{d-1}\) è dovuto alla presenza nell'integrale polare di un pezzo che restituisce il perimetro della frontiera di \(B(o;r)\).
Nel caso generale, l'integrazione in coordinate polari si fa mediante la formula:
\[
\int_{\mathbb{R}^d} f\ \text{d} x = \int_0^\infty \left( \int_{\partial B(o;r)} f\ \text{d} \sigma \right)\ \text{d} r
\]
sicché, se \(f\) è radiale, i.e. se \(f(x)=\phi (|x|)=\phi (r)\), trovi:
\[
\begin{split}
\int_{\mathbb{R}^d} f\ \text{d} x &= \int_0^\infty \left( \int_{\partial B(o;r)} \phi (r)\ \text{d} \sigma \right)\ \text{d} r\\
&= \int_0^\infty \phi (r)\ \underbrace{\left( \int_{\partial B(o;r)} \text{d} \sigma \right)}_{\text{perimetro della frontiera di } B(o;r)}\ \text{d} r\\
&= \int_0^\infty \phi (r)\ \omega_d\ r^{d-1}\ \text{d} r\\
&= \omega_d\ \int_0^\infty \phi (r)\ r^{d-1}\ \text{d} r\; ,
\end{split}
\]
che è la formula che ho usato sopra. Quindi il fattore \(r^{d-1}\) è dovuto alla presenza nell'integrale polare di un pezzo che restituisce il perimetro della frontiera di \(B(o;r)\).
In un'altra situazione, tipo questa:
$h(x) = (log x)/(x+1)$
+con $h$ funzione definita: $R^+$ -> $CC$
(per quali valori di $p$ , $h(x) \in L^p (R^+)$)
tutto il ragionamento fatto da te, non posso 'applicarlo' in quanto c'è quel log di mezzo che non mi porta a condizioni radiali.. e inoltre ha anche qualche problema in più, tra cui l'intorno dell'origine ove non è limitatata e l'ordine di infinitesimo in $+oo$
$h(x) = (log x)/(x+1)$
+con $h$ funzione definita: $R^+$ -> $CC$
(per quali valori di $p$ , $h(x) \in L^p (R^+)$)
tutto il ragionamento fatto da te, non posso 'applicarlo' in quanto c'è quel log di mezzo che non mi porta a condizioni radiali.. e inoltre ha anche qualche problema in più, tra cui l'intorno dell'origine ove non è limitatata e l'ordine di infinitesimo in $+oo$
Ma vabbé, qui non c'è troppo da dire... Praticamente è un esercizio di Analisi I sulla sommabilità degli integrali impropri.
Vedo di cavarmela in qualche modo...per definizione una funzione $h: [0,oo] -> CC$ è in $L^p$ se risulta finito l'integrale (improprio):
$\int_{0}^{\infinity} |h(x)|^p dx$
inoltre se h è continua, allora è anche misurabile secondo Lebegue.
Detto questo, come accennato prima, la $h(x)$ è una funzione positiva, bisogna studiare
1) cosa fa la funzione all'intorno di $0$ in quanto il log tende a $-oo$ per $x->0^-$
2) per $x->+oo$
1) il logaritmo è in 0, d'ordine 'piccolo' rispetto a $1/x$, quindi fissando $b \in (0,1)$
l'integrale improprio $\int_0^b (log x)^p/(1+x)^p dx < oo$ se e solo se $p>1$
2) lim_(x->oo) (log x)^p/(1+x)^p = 0 per $p>1$
inoltre:
$\int_a^infinity (log x)^p/(1+x)^p dx < oo$ per $p>1$ in accordo con il criterio di sommabilità.
$a \in (1, +oo)$
quindi essendo:
$\int_0^infinity h(x) dx = \int_0^b h(x) dx + \int_a^infinity h(x) dx$ finiti entrambi, l'integrale è finito, e in particolare per $p>1$
c'è qualche passaggio che non mi convince, sopratutto quella somma di integrali che faccio...
$\int_{0}^{\infinity} |h(x)|^p dx$
inoltre se h è continua, allora è anche misurabile secondo Lebegue.
Detto questo, come accennato prima, la $h(x)$ è una funzione positiva, bisogna studiare
1) cosa fa la funzione all'intorno di $0$ in quanto il log tende a $-oo$ per $x->0^-$
2) per $x->+oo$
1) il logaritmo è in 0, d'ordine 'piccolo' rispetto a $1/x$, quindi fissando $b \in (0,1)$
l'integrale improprio $\int_0^b (log x)^p/(1+x)^p dx < oo$ se e solo se $p>1$
2) lim_(x->oo) (log x)^p/(1+x)^p = 0 per $p>1$
inoltre:
$\int_a^infinity (log x)^p/(1+x)^p dx < oo$ per $p>1$ in accordo con il criterio di sommabilità.
$a \in (1, +oo)$
quindi essendo:
$\int_0^infinity h(x) dx = \int_0^b h(x) dx + \int_a^infinity h(x) dx$ finiti entrambi, l'integrale è finito, e in particolare per $p>1$
c'è qualche passaggio che non mi convince, sopratutto quella somma di integrali che faccio...
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