Concetto sugli integrali impropri
salve a tutti, ho un problema riguardante gli integrali impropri:
normalmente l'integrale improprio è lo svolgimento di un integrale di una funzione non continua in un estremo dell'intervallo scelto o l''intervallo in un estremo è illimitato... quindi si fa l'integrale dall' estremo finito, a "c" con lim c che tende ai due casi precedenti;
ora se invece dovessi studiare una funzione del tipo 1/x^2 per x>0 come faccio? integro tra due intervalli non finiti, a sinistra la funzione a 0 non è continua e a destra è illimitata,come faccio? devo scegliere un punto e dividere in due parti l'integrale?? fare due limiti??
grazie in anticipo
normalmente l'integrale improprio è lo svolgimento di un integrale di una funzione non continua in un estremo dell'intervallo scelto o l''intervallo in un estremo è illimitato... quindi si fa l'integrale dall' estremo finito, a "c" con lim c che tende ai due casi precedenti;
ora se invece dovessi studiare una funzione del tipo 1/x^2 per x>0 come faccio? integro tra due intervalli non finiti, a sinistra la funzione a 0 non è continua e a destra è illimitata,come faccio? devo scegliere un punto e dividere in due parti l'integrale?? fare due limiti??
grazie in anticipo
Risposte
se devi calcolare l'integrale improrpio
\[\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\,dx\]
dovresti dividere l'intrgrale ad esempio cosi:
\[\int_{a}^{1}\frac{1}{x^2}\,\,dx+\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\,dx\]
e quindi hai due integrali improri, uno divergente e l'atro convergente: in quell'intervallo dunque l'integrale non può convergere.
\[\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\,dx\]
dovresti dividere l'intrgrale ad esempio cosi:
\[\int_{a}^{1}\frac{1}{x^2}\,\,dx+\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\,dx\]
e quindi hai due integrali improri, uno divergente e l'atro convergente: in quell'intervallo dunque l'integrale non può convergere.
ma ogni punto intermedio va bene in tutti i casi???? è possibile che con diversi numeri cambia il risultato?
ma che risultato? il valore dell'integrale tra $(0,1$ è ovviamente differente dal valore dello stasso integrale tra $(0,3]$ ma noi stiamom parlando di convergenza non di valore dell'integrale
si ho sbagliato a scrivere ma intendevo è possibile che con altri punti intermedi cambi la convergenza in divergenza o viceversa? ora questo era semplice ma magari in qualcuno più complesso....
il punto è che una funzione continua è certamente integrabile, quindi nel tuo caso,
\[\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\]
è sicuramente integrabile in $x=1$ poichè la funzione $\frac{1}{x^2}$ è definita in $x=1;$ quindi anche l'integrale
\[\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^2},\qquad\int_{3}^{+\infty}\frac{1}{x^2},\qquad\int_{10000}^{+\infty}\frac{1}{x^2} \]
è sicuramente convergente in $x=2,x=3,x=10000,....,$ e quindi il problema sta solo a $+\infty,$ dove per confronto asintotico certamente quell'integrale converge;nell'altro caso
\[ \int_0^1 \frac{1}{ x^{2}} \]
è uguale, nel senso che puoi considerare sempre integrali del tipo
\[\int_{0}^{2}\frac{1}{x^2},\qquad\int_{0}^{3}\frac{1}{x^2},\qquad\int_{0}^{10000}\frac{1}{x^2} \]
che sono è sicuramente convergenti in $x=2,x=3,x=10000,....,$ poichè la sunzione in tali punti risulta continua, e quindi il problema sta solo in $0$ dove per confronto certamente quell'integrale non converge; quindi in definitiva quell'integrale in $(0,+\infty)$ non converge.
\[\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\]
è sicuramente integrabile in $x=1$ poichè la funzione $\frac{1}{x^2}$ è definita in $x=1;$ quindi anche l'integrale
\[\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^2},\qquad\int_{3}^{+\infty}\frac{1}{x^2},\qquad\int_{10000}^{+\infty}\frac{1}{x^2} \]
è sicuramente convergente in $x=2,x=3,x=10000,....,$ e quindi il problema sta solo a $+\infty,$ dove per confronto asintotico certamente quell'integrale converge;nell'altro caso
\[ \int_0^1 \frac{1}{ x^{2}} \]
è uguale, nel senso che puoi considerare sempre integrali del tipo
\[\int_{0}^{2}\frac{1}{x^2},\qquad\int_{0}^{3}\frac{1}{x^2},\qquad\int_{0}^{10000}\frac{1}{x^2} \]
che sono è sicuramente convergenti in $x=2,x=3,x=10000,....,$ poichè la sunzione in tali punti risulta continua, e quindi il problema sta solo in $0$ dove per confronto certamente quell'integrale non converge; quindi in definitiva quell'integrale in $(0,+\infty)$ non converge.
"Noisemaker":
[...] è sicuramente integrabile in $x=1$ [...]
Chiariresti cosa significa che una funzione è integrabile in un punto?
vista la domanda che ha posto, scrivere che la funzone risulta integraile in ogni intervallo del tipo $1;1+\delta],$ nel primo caso oppure del tipo $[1; 1-\delta],$ mi sembrava di creare ulteriore confusione 
ok, sto vedendo la luce!!! ahahah... tornando alle cose serie, quindi li affronto separati e se uno dei due diverge, l'integrale diverge; per convergere,entrambi devono convergere giusto??
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