Concetto di limite (teoria)

[martao]

Buongiorno,

volevo affrontare con voi un dubbio teorico che trovo sui limiti.
Svolgendo gli esercizi per la verifica del limite secondo definizione si arriva a un punto dove si mostra, in accordo con la definizione, che 0<|x-x0|<δ
Di solito si sviluppa in una serie di passaggi dove imponendo |f(x)-l|<ε con l valore del limite.
E mi è venuta così un'idea.

Una volta definito il limite come concetto non potrei anche dire:
se trovo una funzione h(x) che tende a zero per un certo x->x'
e voglio verificare che lim x->x' f(x) faccia m

allora imponendo |f(x)-m| E' un po' simile al confronto, ma in realtà il teorema del confronto per come l'ho visto usa un'altra dimostrazione.

Esiste qualcosa del genere? Penso di sì, ma non l'ho mai studiata vorrei capire dove trovarla, sempre sia un ragionamento coerente.
Grazie

[gugo82]

Beh, è il teorema del confronto unito al fatto che:
\[
\lim_{x\to x^\prime} f(x) = m\quad \Leftrightarrow\quad \lim_{x\to x^\prime} |f(x) - m| = 0.
\]

[martao]

Grazie per avermi risposto.

Il mio dubbio nasce qui però, la dimostrazione del teorema del limite si conclude mostrando che

$l-ε
so anche che $l-ε $lim_(x->x_0) f(x)=0$ e $lim_(x->x_0) h(x)=0$ cioè per definizione $0-ε ma a questo punto non è applcibile un confronto perché $lim_(x->x_0) g(x)=m$ e non è $0$ (le ipotesi del teorema chiedono proprio i tre limiti siano coerenti allo stesso m)
infatti non posso scrivere $0-ε Per questo non capisco come fa conciliare il limite del confronto con l'idea di trovare una funzione che tenda a zero come dicevo in apertura.

Forse devo fare una cosa del genere?
definisco una funzione $m(x)=f(x)-m$
da cui:
$0-ε =>$|f(x)-0|<0$ cioè il limite $lim_(x->x_0) f(x)=0$
=>$|h(x)-0|<0$ cioè il limite $lim_(x->x_0) h(x)=0$
cioè $m(x)=g(x)-m$ è compresa tra due funzioni che tendono a zero, dunque
$f(x)

Ma non so se è l'impostazione giusta, grazie

[gugo82]

Hai:
\[
\left. \begin{split} & \lim_{x \to x_0} h(x) = 0 \\
& 0 \leq | f(x) - m | \leq h(x) \quad \text{intorno ad } x_0 \end{split} \right\} \quad \stackrel{\text{Carabinieri}}{\Rightarrow} \quad \lim_{x\to x_0} |f(x) - m| = 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = m\; .
\]
Non vedo troppi problemi... O no?

[martao]

Mi sa che ci ho girato un po' attorno.
In parole spicce, quel che volevo dire, è che per usare il confronto in tal caso devo usare non f(x) ma m(x)=f(x)-m per poter applciare il confronto: g(x)<=m(x)<=h(x)

Grazie mille