Concetto di gradiente
Ciao a tutti!
Chiedo ancora una volta il vostro supporto per cercare di capire un concetto molto delicato appunto quello di gradiente.
Ho fatto un po' di ricerche per cercare di capire meglio ma quello che sono riuscito a capire(o meglio di cui sono riuscito solo a prendere atto)
è che il gradiente di una funzione di 2 variabili x e y (per esempio) è un vettore che ha per coordinate cartesiane le derivate parziali della funzione rispettivamente rispetto a x e a y
e che quindi tale vettore rappresenta la direzione di massima variazione della funzione,
E' proprio su questa frase che sono un po' scettico " tale vettore rappresenta la direzione di massima variazione della funzione"
Se per esempio ho una certa funzione di cui calcolo le derivate parziali rispetto a un punto...e mettiamo caso che vengono $(Df(x,y))/(Dx)=4$ e $(Df(x,y))/(Dy)=1$
Perchè la direzione di massima variazione dovrebbe essere determinata dalle derivate parziali rispetto a x e y e non rispetto a un'altra coppia di direzioni diverse da x e y?
Non potrei benissimo derivare rispetto ad altre due direzioni e ottenere per esempio 5 e 2 che già sono maggiori dei precedenti?
Grazie
Chiedo ancora una volta il vostro supporto per cercare di capire un concetto molto delicato appunto quello di gradiente.
Ho fatto un po' di ricerche per cercare di capire meglio ma quello che sono riuscito a capire(o meglio di cui sono riuscito solo a prendere atto)
è che il gradiente di una funzione di 2 variabili x e y (per esempio) è un vettore che ha per coordinate cartesiane le derivate parziali della funzione rispettivamente rispetto a x e a y
e che quindi tale vettore rappresenta la direzione di massima variazione della funzione,
E' proprio su questa frase che sono un po' scettico " tale vettore rappresenta la direzione di massima variazione della funzione"
Se per esempio ho una certa funzione di cui calcolo le derivate parziali rispetto a un punto...e mettiamo caso che vengono $(Df(x,y))/(Dx)=4$ e $(Df(x,y))/(Dy)=1$
Perchè la direzione di massima variazione dovrebbe essere determinata dalle derivate parziali rispetto a x e y e non rispetto a un'altra coppia di direzioni diverse da x e y?
Non potrei benissimo derivare rispetto ad altre due direzioni e ottenere per esempio 5 e 2 che già sono maggiori dei precedenti?
Grazie
Risposte
Ciao, una spiegazione molto poco tecnica, ma molto intuitiva, è la seguente....
Rimaniamo per semplicità nel caso delle superfici.
La derivata direzionale di una funzione differenziabile di due variabili è data da :$(df(x_0,y_0))/(dr)=f_x(x_0,y_0)cos\theta+f_y(x_0,y_0)sen\theta$.
Ora se noi consideriamo il piano $xy$ e fissiamo sull'asse $x$ il punto $f_x(x_0,y_0)$ e sull'asse $y$ il punto $f_y(x_0,y_0)$; a questo punto disegnamo un rettangolo che avrà i vertici in $(0,0)$, $(f_x(x_0,y_0), 0)$, $(0,f_y(x_0,y_0))$ e $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$.
Facendo così abbiamo che il valore della derivata direzionale è la lunghezza del segmento che partendo da $(0,0)$ va ad unire un'altro punto appartenente ad un lato del rettangolo....quale sarà il segmento più lungo?
Il segmento più lungo sarà la diagonale del rettangolo che guarda caso è quella che congiunge l'origine con il punto $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$!
Dunque il segmento più lungo (ossia la derivata direzionale di valore maggiore) è quello che ha direzione $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$, che è proprio il gradiente!
Rimaniamo per semplicità nel caso delle superfici.
La derivata direzionale di una funzione differenziabile di due variabili è data da :$(df(x_0,y_0))/(dr)=f_x(x_0,y_0)cos\theta+f_y(x_0,y_0)sen\theta$.
Ora se noi consideriamo il piano $xy$ e fissiamo sull'asse $x$ il punto $f_x(x_0,y_0)$ e sull'asse $y$ il punto $f_y(x_0,y_0)$; a questo punto disegnamo un rettangolo che avrà i vertici in $(0,0)$, $(f_x(x_0,y_0), 0)$, $(0,f_y(x_0,y_0))$ e $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$.
Facendo così abbiamo che il valore della derivata direzionale è la lunghezza del segmento che partendo da $(0,0)$ va ad unire un'altro punto appartenente ad un lato del rettangolo....quale sarà il segmento più lungo?
Il segmento più lungo sarà la diagonale del rettangolo che guarda caso è quella che congiunge l'origine con il punto $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$!
Dunque il segmento più lungo (ossia la derivata direzionale di valore maggiore) è quello che ha direzione $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$, che è proprio il gradiente!
Bella questa spiegazione di Alex. Aggiungo una piccolissima chiusa che spesso sui libri viene omessa ma che secondo me non guasta: non per forza bisogna fare le derivate rispetto ad $x$ ed $y$, ovvero lungo le direzioni della base canonica di $RR^2$ - come è evidente dal discorso geometrico di Alex, vanno bene le direzioni di una qualunque base purché sia ortonormale.
E' molto importante che la base sia ortonormale. Nel caso ti venisse la curiosità, se prendi una base non ortonormale ${b_1, b_2}$ di $RR^2$, il gradiente di $f$ si esprime come $\nabla f = ("D"_{b_1}f) b^1+ ("D"_{b_2} f )b^2$, dove le $"D"$ indicano la derivata direzionale e ${b^1, b^2}$ è la base di $RR^2$ duale di ${b_1, b_2}$, nel senso che $b^i * b_j={(1, i=j), (0, i != j) :}$. Il che collima con quanto detto sopra perché una base di $RR^2$ è ortonormale se e solo se coincide con la propria base duale, come puoi verificare immediatamente.
E infine, naturalmente quanto detto si estende ad $RR^n$ per $n$ qualsiasi ed anche ad un qualsiasi spazio vettoriale euclideo, se ti piace fare le cose in astratto.
E' molto importante che la base sia ortonormale. Nel caso ti venisse la curiosità, se prendi una base non ortonormale ${b_1, b_2}$ di $RR^2$, il gradiente di $f$ si esprime come $\nabla f = ("D"_{b_1}f) b^1+ ("D"_{b_2} f )b^2$, dove le $"D"$ indicano la derivata direzionale e ${b^1, b^2}$ è la base di $RR^2$ duale di ${b_1, b_2}$, nel senso che $b^i * b_j={(1, i=j), (0, i != j) :}$. Il che collima con quanto detto sopra perché una base di $RR^2$ è ortonormale se e solo se coincide con la propria base duale, come puoi verificare immediatamente.
E infine, naturalmente quanto detto si estende ad $RR^n$ per $n$ qualsiasi ed anche ad un qualsiasi spazio vettoriale euclideo, se ti piace fare le cose in astratto.
"dissonance":
Bella questa spiegazione di Alex.
Grazie "dissonance", è un onore ricevere complimenti da te!
Ciao ragazzi sono rincasato da poco e ho fatto una pausa cena prima di riprendere a duellare con un problema di fisica.
Vi ringrazio per le risposte tempestive!
Vi chiedo scusa se non posso leggere attentamente subito ma ho questa battaglia da portare a termine..appena concludo leggo subito e vi faccio sapere!:) grazie!
Vi ringrazio per le risposte tempestive!
Vi chiedo scusa se non posso leggere attentamente subito ma ho questa battaglia da portare a termine..appena concludo leggo subito e vi faccio sapere!:) grazie!
"Alexp":Addirittura un onore! Esagerato
Grazie "dissonance", è un onore ricevere complimenti da te!
Ciao ragazzi, scusate l'intromissione ma l'argomento non è chiarissimo neanche per me.
Se ho capito bene le derivate direzionali appartengono al piano tangente nel punto (x0,y0) ?
Potrebbe esistere nell'intorno del punto x0 una irregolarità della funzione tale per cui la derivata direzionale in quel punto non appartiene al paino tangente?
grazie
Se ho capito bene le derivate direzionali appartengono al piano tangente nel punto (x0,y0) ?
Potrebbe esistere nell'intorno del punto x0 una irregolarità della funzione tale per cui la derivata direzionale in quel punto non appartiene al paino tangente?
grazie
Ciao "meck",
non è detto che il piano tangente esista....nel caso a più variabili, la derivabilità non coincide con la differenziabilità!
Per esistere il piano tangente ad una superficie in un punto, la funzione deve essere differenziabilie, il che coincide col dire che tutte le derivate direzionali (comprese le derivate parziali in quando sono anch'esse derivate direzionali lungo gli assi) devono appartenere allo stesso piano; se tale piano esiste, ossia contiene tutte le derivate direzionali allora esso è tangente, altrimenti non esiste piano tangente, ma lungo ogni direzione avrai la tangenza con una retta!
Quindi, ricapitolando, per esistere il piano tangente in un punto ad una superficie, devi verificare prima che la funzione sia differenziabile in quel punto; una condizione sufficiente, ma NON necessaria per verificare la differenziabilità in un punto è controllare che le derivate parziali sia contiune nel punto....mentre una condizione necessaria e sufficiente è:
$\lim_(x,y->(x_0,y_0)) (f(x, y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
non è detto che il piano tangente esista....nel caso a più variabili, la derivabilità non coincide con la differenziabilità!
Per esistere il piano tangente ad una superficie in un punto, la funzione deve essere differenziabilie, il che coincide col dire che tutte le derivate direzionali (comprese le derivate parziali in quando sono anch'esse derivate direzionali lungo gli assi) devono appartenere allo stesso piano; se tale piano esiste, ossia contiene tutte le derivate direzionali allora esso è tangente, altrimenti non esiste piano tangente, ma lungo ogni direzione avrai la tangenza con una retta!
Quindi, ricapitolando, per esistere il piano tangente in un punto ad una superficie, devi verificare prima che la funzione sia differenziabile in quel punto; una condizione sufficiente, ma NON necessaria per verificare la differenziabilità in un punto è controllare che le derivate parziali sia contiune nel punto....mentre una condizione necessaria e sufficiente è:
$\lim_(x,y->(x_0,y_0)) (f(x, y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
ok, grazie !!
"meck", mi sono accorto di aver commesso un errore nella digitazione dell'ultima formula, ora ho corretto! Ciao
Ok scusate il ritardo è che sono quasi sempre all'università...comunque ho letto....alexp c'è però una cosa che mi blocca e che non mi consente di capire tutto il ragionamento....cioè il modo in cui indichi la derivata direzionale....in $f_x
$(df(x_0,y_0))/(dr)=f_x(x_0,y_0)cos\theta+f_y(x_0,y_0)sen\theta$. ci sono gli $f_x$ e $f_y$ che mi sanno di derivata parziale rispetto a x e y e mi creano un po' di confusione...di solito la derivata direzionale la indico in maniera generica con le coordinate polari come $lim_{rho->0}(f(x_0+rhocostheta,y_0+rhosentheta)-f(x_0,y_0))/rho$. Non ti dico ovviamente di usare il mio modo di indicarla magari solo spiegare il significato di quei $f_x$ e $f_y$...Grazie!
$(df(x_0,y_0))/(dr)=f_x(x_0,y_0)cos\theta+f_y(x_0,y_0)sen\theta$. ci sono gli $f_x$ e $f_y$ che mi sanno di derivata parziale rispetto a x e y e mi creano un po' di confusione...di solito la derivata direzionale la indico in maniera generica con le coordinate polari come $lim_{rho->0}(f(x_0+rhocostheta,y_0+rhosentheta)-f(x_0,y_0))/rho$. Non ti dico ovviamente di usare il mio modo di indicarla magari solo spiegare il significato di quei $f_x$ e $f_y$...Grazie!
Ciao, è la stessa cosa se hai la differenziabilità della funzione nel punto!
..mi spiego meglio, la derivata direzione la si esprime come rapporto incrementale (come hai fatto tu), ma se si è nelle condizioni in cui la funzione è differenziabile, allora la si può scrivere anche come combinazione delle derivate parziali, dato che in questo caso i due modi sono equivalenti....infatti se e solo se una funzione è differenziabile nel punto, ammette piano tg in quel punto e perciò essendo $z=ax+by+z_0$ la generica equazione del piano tg, il differenziale di esso ($dz=adx+bdy$) equivale al differenziale della funzione, (in cui ho $a=f_x$, $b=f_y$ e $dz=df$)....e da quest'ultimo è facile verificare che $(df)/(dr)=f_x(dx)/(dr)+f_y(dy)/(dr)$ è $f'=f_xcos(\theta)+f_ysen(\theta)$ essendo $\Deltar=sqrt((\Deltax)^2+(\Deltay)^2)$ da cui $\Deltax=\Deltarcos(\theta)$ e $\Deltay=\Deltarsen(\theta)$.
..mi spiego meglio, la derivata direzione la si esprime come rapporto incrementale (come hai fatto tu), ma se si è nelle condizioni in cui la funzione è differenziabile, allora la si può scrivere anche come combinazione delle derivate parziali, dato che in questo caso i due modi sono equivalenti....infatti se e solo se una funzione è differenziabile nel punto, ammette piano tg in quel punto e perciò essendo $z=ax+by+z_0$ la generica equazione del piano tg, il differenziale di esso ($dz=adx+bdy$) equivale al differenziale della funzione, (in cui ho $a=f_x$, $b=f_y$ e $dz=df$)....e da quest'ultimo è facile verificare che $(df)/(dr)=f_x(dx)/(dr)+f_y(dy)/(dr)$ è $f'=f_xcos(\theta)+f_ysen(\theta)$ essendo $\Deltar=sqrt((\Deltax)^2+(\Deltay)^2)$ da cui $\Deltax=\Deltarcos(\theta)$ e $\Deltay=\Deltarsen(\theta)$.
Ahhhh!!!!Ok!!!Adesso ho capito quello che vuoi dire!! Complimenti veramente è davvero molto interessante questa spiegazione! 
Grazie per avermi tolto il dubbio!
Comunque un bel ripasso di queste cose me lo dovrei fare! Così apprezzo ancora di più questa spiegazione e in caso posto qualche altra perplessità! Grazie ancora!
Grazie per avermi tolto il dubbio!
Comunque un bel ripasso di queste cose me lo dovrei fare! Così apprezzo ancora di più questa spiegazione e in caso posto qualche altra perplessità! Grazie ancora!
"Robbyx":
Complimenti veramente è davvero molto interessante questa spiegazione!
Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo