Concetto di differenziabilità
Salve a tutti, in questi giorni sto cercando di chiarire più dubbi possibili sull'analisi 2, e non ho potuto fare a meno di bloccarmi sul concetto di differenziabilità, o meglio, credo di aver capito ma cerco conferma in voi.
So per definizione che una funzione è differenziabile se esiste il limite (che non sto qui a scrivere e sulla quale non ho dubbi) uguale a zero, fin qua tutto chiaro.
I dubbi sorgono con il teorema di differenziabilità e la condizione sufficiente; espongo la mia idea e spero che possiate correggermi o eventualmente aggiungere qualcosa.
Se una funzione è differenziabile allora essa è derivabile e continua, e ciò non è invertibile, dunque se ho una funzione continua e derivabile questa non è necessariamente differenziabile e quindi per verificarlo mi tocca passare alla definizione.
Per la condizione sufficiente invece, se una funzione è derivabile,(quindi derivabile parzialmente sia rispetto a x sia rispetto a y) e le sue derivate parziali sono continue allora la funzione di partenza è differenziabile, e ovviamente non vale il viceversa.
E' tutto corretto oppure ho tralasciato qualche passaggio?
P.S. So di aver tralasciato formule e ipotesi importanti ma è solo per avere un'idea generale.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi aiuti.
So per definizione che una funzione è differenziabile se esiste il limite (che non sto qui a scrivere e sulla quale non ho dubbi) uguale a zero, fin qua tutto chiaro.
I dubbi sorgono con il teorema di differenziabilità e la condizione sufficiente; espongo la mia idea e spero che possiate correggermi o eventualmente aggiungere qualcosa.
Se una funzione è differenziabile allora essa è derivabile e continua, e ciò non è invertibile, dunque se ho una funzione continua e derivabile questa non è necessariamente differenziabile e quindi per verificarlo mi tocca passare alla definizione.
Per la condizione sufficiente invece, se una funzione è derivabile,(quindi derivabile parzialmente sia rispetto a x sia rispetto a y) e le sue derivate parziali sono continue allora la funzione di partenza è differenziabile, e ovviamente non vale il viceversa.
E' tutto corretto oppure ho tralasciato qualche passaggio?
P.S. So di aver tralasciato formule e ipotesi importanti ma è solo per avere un'idea generale.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi aiuti.
Risposte
Se una funzione è differenziabile allora essa è derivabile e continua, e ciò non è invertibile
What?
"killing_buddha":Se una funzione è differenziabile allora essa è derivabile e continua, e ciò non è invertibile
What?
Intendo dire proprio quello, il teorema dice che :
Sia $ f:A->R^n$ con $AsubeR^n$ aperto.Sia $P_0subeA$ e supponendo che f sia differenziabile in $P_0$ allora $f$ sarà derivabile in $P_0$ e continua in $P_0$.
da qui deduco che se una funzione è differenziabile in un punto è anche derivabile e continua in esso, e ciò non si può invertire.
Spero adesso di essermi spiegato meglio.
L'identità di $RR^n$ è analitica e invertibile.
"killing_buddha":
L'identità di $RR^n$ è analitica e invertibile.
Forse intendeva dire che l'implicazione "differenziabile" $\implies$ "derivabile (credo parzialmente) e continua" non è invertibile.
Probabilmente ho dei problemi con l'italiano, ma "ciò non si può invertire" è un modo pazzesco di dire "il viceversa non vale" 
[ot]Quel ‘e ció’ porta un peso sulle spalle che nemmeno atlante può immaginare[/ot]
"killing_buddha":
Probabilmente ho dei problemi con l'italiano, ma "ciò non si può invertire" è un modo pazzesco di dire "il viceversa non vale"
Eh lo so, ma lui, poverello, no
Intendevo dire proprio quello che ha detto fractalius, credevo di essermi espresso bene, ma a quanto pare mi sbagliavo.
Cercherò di essere più chiaro la prossima volta e che adesso qualcuno possa risolvere i miei dubbi
Cercherò di essere più chiaro la prossima volta e che adesso qualcuno possa risolvere i miei dubbi
Fino adesso vai bene. Continua a studiare, fatti degli esempi, ragiona su quelli invece che sui massimi sistemi.
"dissonance":
Fino adesso vai bene. Continua a studiare, fatti degli esempi, ragiona su quelli invece che sui massimi sistemi.
Innanzitutto, grazie dissonance della risposta.
Per quanto riguarda gli esempi ne ho studiati e fatti a mia volta tanti, ma proprio oggi ne ho beccato uno, che ha fatto crollare tutte le mie certezze, spero che tu o altri possiate darmi una mano nella comprensione.
L'esercizio dice di studiare la continuità, derivabilità e differenziabilità di :
$f(x,y) = { ( (x^2y)/(x^4 + y^2), (x,y)!=(0,0)),( 0, (x,y)=(0,0)):}$
-Continuità
ovviamente deduco che la funzione è definita in tutto $R^2$, ma che è certamente continua in tutti i punti $(x,y)!=(0,0)$, dunque il punto dubbio è $(x,y)=(0,0)$, in cui studio la continuità calcolando il limite, vedo che tale limite non esiste usando il metodo delle restrizioni, e fino a questo momento credo di aver fatto bene.
-Derivabilità
vedo che la funzione è derivabile in $(x,y)!=(0,0)$, dunque il punto "dubbio" è sempre $(x,y)=(0,0)$, in cui calcolo le derivate parziali con il limite prima rispetto a alla $x$ e poi rispetto alla $y$, ottenendo che le derivate parziali in $(0,0)$ valgono $f_x(0,0)=0$ e $f_y(0,0)=0$, dunque in quel punto la funzione è derivabile.
-Differenziabilità
qua iniziano i problemi, in quanto stavo andando ad utilizzare il limite presente nella definizione di differenziabilità, ma noto che il libro dice che la funzione non è differenziabile in $(0,0)$ in quanto non è continua, ma ciò non va contro il teorema che avevo menzionato nel primo post?Nel senso se una funzione è non continua ma derivabile non potrebbe essere comunque differenziabile?
Così tutte le mie certezze sono crollate e spero che qualcuno possa illuminarmi
Grazie anticipatamente.
Tutte le mie certezze sono crollate
Non farne una tragedia, è così che funziona la comprensione della matematica, per tentativi e per approssimazioni successive.
"Paul Halmos":
Mathematics is not a deductive science — that's a cliché. When you try to prove a theorem, you don't just list the hypotheses, and then start to reason. What you do is trial and error, experimentation, guesswork. You want to find out what the facts are, and what you do is in that respect similar to what a laboratory technician does. Possibly philosophers would look on us mathematicians the same way as we look on the technicians, if they dared.
Nello specifico hai solo un problema di logica. Meglio farsi uno schemino con le frecce:
"Differenziabile" \(\Rightarrow\) "continua".
La contrapposizione di questa implicazione è:
"Non continua" \(\Rightarrow\) "non differenziabile".
Se la funzione che hai postato non è continua, allora non è differenziabile.
"dissonance":Tutte le mie certezze sono crollate
Non farne una tragedia, è così che funziona la comprensione della matematica, per tentativi e per approssimazioni successive.
[quote="Paul Halmos"]
Mathematics is not a deductive science — that's a cliché. When you try to prove a theorem, you don't just list the hypotheses, and then start to reason. What you do is trial and error, experimentation, guesswork. You want to find out what the facts are, and what you do is in that respect similar to what a laboratory technician does. Possibly philosophers would look on us mathematicians the same way as we look on the technicians, if they dared.
Nello specifico hai solo un problema di logica. Meglio farsi uno schemino con le frecce:
"Differenziabile" \(\Rightarrow\) "continua".
La contrapposizione di questa implicazione è:
"Non continua" \(\Rightarrow\) "non differenziabile".
Se la funzione che hai postato non è continua, allora non è differenziabile.[/quote]
Grazie mille davvero, sia per l'aiuto sia per la bellissima frase.
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