Concetto di A limitato superiormente

[xMauri94]

Ciao a tutti, sono agli inizi del corso di Analisi I, stiamo quindi trattando i numeri reali.

Sugli appunti del professore ho trovato qualcosa che non mi quadra, o meglio, trattando il concetto di elemento limitato superiormente di A (sottoinsieme proprio di R), ho trovato queste diciture:

A Limitato Superiormente:

$ EE k in R : AA x in A , x <= k $

Tenendo conto che:

$ A sub R $ e A non vuoto.

Allora possiamo dire che:

$ e = lim. s. A $ se:

$ AA x in A , x <= e $

$ AA y < e, EE z in A, y < z $

Ora, ciò che non ho capito, è: Perchè $ e = lim. s. A $ è UNICO? Come fa ad essere unico? Io ho provato con degli esempi numerici, ma $ e $ può essere più di un valore.. forse mi sfugge il significato di 'unico'.. mi aiutereste a capire?

Grazie a tutti.

[Emar1]

Quello di cui stiamo parlando (credo) è l'estremo superiore e non il limite superiore che invece è legato al concetto di successione/funzione! Sono due concetti distinti.

Solitamente l'estremo superiore è definito come il minimo dei maggioranti di $A$ e questo implica l'unicità.

Dai un occhio a Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Estremo_superiore

[redlex91-votailprof]

Come dice Emar il concetto di cui stai parlando è quello di estremo superiore.
Dalla tua def., sia \(\mathbb{R}\supseteq\mathcal{A}\ne\emptyset\) definiamo estremo superiore di \(\mathcal{A}\), l'elemento \(\Lambda\in\mathbb{R}\) tale che:
\[
\begin{split}
&\forall x\in\mathcal{A}, \quad x\leq\Lambda&\quad&(1)\\
&\forall y<\Lambda,\,\exists z\in\mathcal{A}:\quad y \end{split}
\]
La seconda condizione può essere riscritta come \(\forall\varepsilon>0,\,\exists z\in\mathcal{A}: \Lambda-\varepsilon
Che l'estremo superiore, se esiste, sia unico è semplice da vedere, infatti, siano \(\lambda_1,\lambda_2\) con \(\lambda_1\ne\lambda_2\) estremi superiori di \(\mathcal{A}\) per i quali cioè valgono le condizioni sopra; per fissare le idee sia \(\lambda_1<\lambda_2\). Dal momento che \(\varepsilon\) è arbitrario, prendo \(\bar{\varepsilon}>0:\lambda_1=\lambda_2-\bar{\varepsilon}\) e dunque \(\exists z\in\mathcal{A}\) per il quale \(\lambda_1=\lambda_2-\bar{\varepsilon} \).

Un'altra possibile definizione, come ti diceva Emar è come "minimo dei maggioranti dell'insieme".
Sia \(\mathcal{A}\subseteq\mathbb{R}\), un elemento \(M\in\mathbb{R}\) [\(m\in\mathbb{R}\)] dicesi massimo [minimo] di \(\mathcal{A}\) se:
\[
\begin{split}
&M\in\mathcal{A}&[m\in\mathcal{A}]\\
&\forall x\in\mathcal{A},\quad x\leq M&[\forall x\in\mathcal{A},\quad x\geq m]
\end{split}
\]

Sia \(\mathbb{R}\supseteq\mathcal{A}\ne\emptyset\), si dice che \(b\in\mathbb{R}\) è un maggiorante per \(\mathcal{A}\) se verifica \(\forall x\in\mathcal{A},\quad b\geq x\); in tal caso diremo che \(\mathcal{A}\) è superiormente limitato in \(\mathbb{R}\).

Sia \(\mathbb{R}\supseteq\mathcal{A}\ne\emptyset\), dicesi estremo superiore di \(\mathcal{A}\) in \(\mathbb{R}\) il minimo dei maggioranti di \(\mathcal{A}\), se esiste.
L'unicità dell'estremo superiore discende da quella del minimo. Siano \(m,m'\in\mathcal{A}\) minimi di \(\mathcal{A}\) per i quali si ha:
\(m'\geq m\) poiché \(m\) è minimo e \(m'\in\mathcal{A}\), \(m\geq m'\) poiché \(m'\) è minimo e \(m\in\mathcal{A}\), e quindi per antisimmetria della relazione \(\geq\) risulta \(m=m'\).

Ovviamente si prova che le due definizioni date sono equivalenti e risultati analoghi valgono per l'estremo inferiore.

Esempio banalotto per convincerti:
Sia \(\mathcal{A}=\{x\in\mathbb{R}\mid2\leq x<3\}\), l'insieme dei maggioranti di \(\mathcal{A}\) è \(\mathrm{magg}(\mathcal{A}):=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq 3\}\), ed il suo elemento più piccolo è \(3\), quindi \(\sup(\mathcal{A})=3\not\in\mathcal{A}\); da cui vediamo anche che l'estremo superiore dell'insieme non deve necessariamente appartenere all'insieme stesso (se vai a rivedere la definizione, non è richiesto).