Concetto degli sviluppi delle funzioni
Salve a tutti, ad analisi matematica hanno appena spiegato gli sviluppi delle funzioni, come conseguenza del teorema di Taylor. Dopo numerosi esercizi ho capito che se si chiede di sviluppare una funzione fino al 5 termine di x, bisogna continuare lo sviluppo finchè una qualsiasi x della funzione non superi x^5. Ciò vale pure per o(x). Per esempio lo sviluppo di sinx è:
x-x^3/6+o(x^4)
La mia domanda riguarda la risoluzione dei limiti con l'uso degli sviluppi. Cioè, quando devo arrestare lo sviluppo della funzione se non c'è una richiesta del tipo di svilupparlo fino a un termine prestabilito?
Grazie in anticipo.
x-x^3/6+o(x^4)
La mia domanda riguarda la risoluzione dei limiti con l'uso degli sviluppi. Cioè, quando devo arrestare lo sviluppo della funzione se non c'è una richiesta del tipo di svilupparlo fino a un termine prestabilito?
Grazie in anticipo.
Risposte
Non c'è una regola, diciamo che se il limite dopo l'espansione ti viene ad esempio $0/0$ dovresti provare ad espandere agli ordini successivi...
per esempio ho
lim x->0 di (e^x-cosx-x)/x^2
dalle soluzioni vedo che risulta:
1/x^2(1+x-x^2/2+o(x^2)-1+x^2-x)
Perche si sviluppa solo dopo tot e non va avanti? il risultato sarebbe diverso. Come funziona precisamente?
lim x->0 di (e^x-cosx-x)/x^2
dalle soluzioni vedo che risulta:
1/x^2(1+x-x^2/2+o(x^2)-1+x^2-x)
Perche si sviluppa solo dopo tot e non va avanti? il risultato sarebbe diverso. Come funziona precisamente?
"Dadde11":
per esempio ho
lim x->0 di (e^x-cosx-x)/x^2
dalle soluzioni vedo che risulta:
1/x^2(1+x-x^2/2+o(x^2)-1+x^2-x)
Perche si sviluppa solo dopo tot e non va avanti? il risultato sarebbe diverso. Come funziona precisamente?
Hai $lim_(xto0) (e^x-cosx-x)/x^2$. Il denominatore è ovviamente infinitesimo d'ordine $2$, quindi puoi arrestarti al secondo ordine in tutti gli sviluppi. Questo fatto vale in generale.
Giusto!!! quindi è il denominatore che ci da un "indizio"!!! Grazie mille!
Un'altra domanda.
Mi chiede di determinare un numero reale alfa ed un intero positivo n in modo che per x->0 si abbia:
log (sin x/x)+1/6x^2=alfa x^n+o(x^n).
In questo caso la soluzione giunge ad un valore massimo di x^5, perche????
Mi chiede di determinare un numero reale alfa ed un intero positivo n in modo che per x->0 si abbia:
log (sin x/x)+1/6x^2=alfa x^n+o(x^n).
In questo caso la soluzione giunge ad un valore massimo di x^5, perche????
se scrivi in formule si capisce meglio
log (sinx)/x+1/6x^2=
log (1/x)(x - x^3/3! + x^5/5! +o(x^5)) +1/6x^2=
=log(1 - x^2/3! + x^4/5! + o(x^4)) + 1/6 x^2=
=x^4/5! + o(x^4) - 1/2 (-x^2/3! + x^4/5! + o(x^4))^2 + o(-x^2/3! + x^4/5! + o(x^4))^3=
=x^4/5! + o(x^4) - 1/2x^4/(3!)^2 + o(x^6) + o(x^7)=
= (-9/5!)x^4 + o(x^4)
Ho più domande. Innanzi tutto con quale criterio si decide fin dove svolgere la funzione? Perchè si prende solo o(x^4) alla fine e gli altri due spariscono?
Per favore siate approfonditi sull'argomento perche necessito di capire. Grazie!
log (1/x)(x - x^3/3! + x^5/5! +o(x^5)) +1/6x^2=
=log(1 - x^2/3! + x^4/5! + o(x^4)) + 1/6 x^2=
=x^4/5! + o(x^4) - 1/2 (-x^2/3! + x^4/5! + o(x^4))^2 + o(-x^2/3! + x^4/5! + o(x^4))^3=
=x^4/5! + o(x^4) - 1/2x^4/(3!)^2 + o(x^6) + o(x^7)=
= (-9/5!)x^4 + o(x^4)
Ho più domande. Innanzi tutto con quale criterio si decide fin dove svolgere la funzione? Perchè si prende solo o(x^4) alla fine e gli altri due spariscono?
Per favore siate approfonditi sull'argomento perche necessito di capire. Grazie!
Se ho capito bene hai: $ln(sinx/x)+1/6x^2$. Perchè si arresta al quarto ordine? è la stessa storia di prima, cioè poichè l'espressione che hai è infinitesima d'ordine $4$ per $xto0$. In questo caso l'ordine non si vede a occhio, anzi hai la somma di due addendi entrambi infinitesimi d'ordine $2$ e quindi l'ordine totale della somma può fare quasi quello che vuole.
Però puoi applicare la definizione di infinitesimo e verificare per quale $n$ hai che $lim_(xto0) (ln(sinx/x)+1/6x^2)/x^n = l$, con $l$ finito e non nullo. Scoprirai che $n=4$.
Però puoi applicare la definizione di infinitesimo e verificare per quale $n$ hai che $lim_(xto0) (ln(sinx/x)+1/6x^2)/x^n = l$, con $l$ finito e non nullo. Scoprirai che $n=4$.
ti ringrazio davvero!!! Ora ne farò altri per capire ancor meglio!!!
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