Concetti teorici Equazioni differenziali
Salve a tutti,
è da un pò che non frequento internet e dunque anche questo fantastico forum.
Avrei bisogno di alcune delucidazioni circa le equazioni differenziali alle derivate totali.
Una equazione differenziale (di ordine n) se non associata a (n) condizioni, darà una famiglia (infinita) di soluzioni. Quello che voglio capire risiede proprio nelle condizioni da associare.
Nel Problema di Cauchy, cioè un'equazione differenziale (di ordine n) si associano (n) condizioni iniziali. Tali condizioni iniziali si sceglono fino alla n-1-esima ordine dell'equazione differenziale stessa, scelte / calcolate nel pt iniziale del Dominio. Giusto?
E' possibile che si scelga un pt diverso dal pt iniziale del Dominio?
Cominciamo con questo dubbio, poi ne ho altri..
Grazie
è da un pò che non frequento internet e dunque anche questo fantastico forum.
Avrei bisogno di alcune delucidazioni circa le equazioni differenziali alle derivate totali.
Una equazione differenziale (di ordine n) se non associata a (n) condizioni, darà una famiglia (infinita) di soluzioni. Quello che voglio capire risiede proprio nelle condizioni da associare.
Nel Problema di Cauchy, cioè un'equazione differenziale (di ordine n) si associano (n) condizioni iniziali. Tali condizioni iniziali si sceglono fino alla n-1-esima ordine dell'equazione differenziale stessa, scelte / calcolate nel pt iniziale del Dominio. Giusto?
E' possibile che si scelga un pt diverso dal pt iniziale del Dominio?
Cominciamo con questo dubbio, poi ne ho altri..
Grazie
Risposte
"AAnto":
E' possibile che si scelga un pt diverso dal pt iniziale del Dominio?
Certamente. Questo tipo di condizioni ti porta alla teoria dei problemi ai limiti, che sono un'altra razza rispetto ai problemi di Cauchy. Vedi qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2%8 ... lle_theory
Ma i problemi ai valori ai limiti non abbiamo condizioni calcolate ai 2 limiti del dominio dell'equazione?
esempio
y(0) = 0
y(1) = 0
D =[0,1]
esempio
y(0) = 0
y(1) = 0
D =[0,1]
(Usa lo strumento appropriato per scrivere le formule, per favore. Qui le istruzioni: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html . Grazie)
Quello è un tipo di condizione, ma ne sono state studiate di tantissimi tipi diversi e ancora se ne studiano. All'università si studia principalmente il problema di Cauchy perché è quello che permette un trattamento più semplice e universale, con teoremi di esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati iniziali estremamente generali. Per problemi diversi il trattamento è di solito parecchio più difficile e sicuramente non può essere così generale. Ti posso suggerire, ad esempio, un'occhiata al libro Theory of ordinary differential equations di Coddington e Levinson, capitolo "Self-adjoint problems on a finite interval", per un'idea di cosa possa essere una trattazione del genere.
Quello è un tipo di condizione, ma ne sono state studiate di tantissimi tipi diversi e ancora se ne studiano. All'università si studia principalmente il problema di Cauchy perché è quello che permette un trattamento più semplice e universale, con teoremi di esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati iniziali estremamente generali. Per problemi diversi il trattamento è di solito parecchio più difficile e sicuramente non può essere così generale. Ti posso suggerire, ad esempio, un'occhiata al libro Theory of ordinary differential equations di Coddington e Levinson, capitolo "Self-adjoint problems on a finite interval", per un'idea di cosa possa essere una trattazione del genere.
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