Concetti di derivabilità e continuità

[zio_mangrovia]

Mi sfugge un concetto fondamentale e mi sta traendo in inganno il seguente teorema:

sia $f(x)$ derivabile in $[a,b]-{x_0}$ e continua in $x_0$; se esiste finito $\lim_{x \to x_0}f'(x)$ allora $f(x)$ è derivabile in $x_0$ e la derivata è uguale al valore del limite.

Se ho ben capito la derivata esiste in $x_0$ se esiste finito e coincidono il valore del limite destro e sinistro del rapporto incrementale della $f(x)$ nel punto $x_0$. Inoltre se una funzione è derivabile in un intervallo sicuramente è anche continua nello stesso intervallo.
Quindi nel teorema sopra esposto si enuncia che:

$f(x)$ è continua in $[a,b]$
$f'(x)$ non è derivabile in $x_0$

se non è derivabile in $x_0$ come si fa a dire che esiste il limite di $f'(x)$ cioè del rapporto incrementale ?!? Forse il teorema intende dire che esistono i limiti destro e sinistro ma sono diversi. C'e' qualcosa che non mi torna
Grazie

[billyballo2123]

L'ipotesi "$f(x)$ è derivabile in $[a,b]-\{x_0\}$ e continua in $x_0$" non significa che $f$ non è derivabile in $x_0$; significa che ti viene data una funzione che SICURAMENTE è derivabile in $[a,b]-\{x_0\}$, ma di cui non si può dire niente sulla derivabilità nel punto $x_0$. Il teorema dice che se aggiungiamo l'ipotesi che esiste finito $\lim_{x\to x_0}f'(x)$ (CHE NON È IL LIMITE DEL RAPPORTO INCREMENTALE!!), allora possiamo concludere che $f$ è derivabile anche in $x_0$.

Ti faccio un esempio: poniamo $[a,b]=[-1,1]$, $x_0=0$ e
\[
f(x)=
\left\{
\begin{matrix}
0 & \text{se } x\in [-1,0] \\
x^2 & \text{se } x\in [0,1]
\end{matrix}
\right.
\]

$f$ è derivabile in $[-1,1]-\{0\}$, inoltre
\[
\lim_{x\to x_0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^+}2x = 0, \\
\lim_{x\to x_0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}0 = 0,
\]
dunque
\[
\lim_{x\to x_0}f'(x)=0,
\]
ovvero esiste finito $\lim_{x\to x_0}f'(x)$, da cui deduciamo che $f$ è derivabile in $0$.

[zio_mangrovia]

Avevo dato per scontato che l'esclusione di $x_0$ significasse non derivabile in quel punto.
Mi sono espresso male, il limite del rapporto incrementale nel punto $x_0$ è $\lim_{h \to 0}(f(x_0+h)-(x_0))/h$. Corretto?

[billyballo2123]

Esatto! Mentre in questo teorema si parla del limite per $x\to x_0$ di $f'(x)$, che è un'altra cosa