Concavità per funzione in due variabili con Hessiana nulla

[Mycroft]

Buongiorno a tutti,
Mi trovo particolarmente in difficoltà nell'affrontare questo esercizio: mi si chiede di studiare per quali valori del parametro $a$, con $a \ne 0$ e $a$ reale, la seguente funzione è strettamente concava nel primo quadrante:

$$g(x, y) = \left(\frac{1}{3}x^{-a} + \frac{2}{3}y^{-a}\right)^{-1/a}$$

dunque ho anche $x > 0$ e $y > 0$ come condizione.

Onestamente non so come procedere.
Avevo pensato di utilizzare il metodo della Hessiana, ma il determinante viene zero. Ho anche controllato con W. Mathematica la correttezza del calcolo, e viene zero.

Qualcuno può darmi una mano con qualche consiglio? Ho provato ad esempio a vedere cosa succede sulle rette $x = y$ ma viene fuori una retta, dunque sia concava che convessa.
Ho provato la restrizione $x = y^2$ ma viene fuori una funzione che andrebbe studiata a parte. Inoltre non so se la "tattica" dei percorsi possa essere efficiente / corretta...

Grazie a tutti!

[otta96]

Ma l'Hessiana come ti viene?

[Mycroft]

"otta96":Ma l'Hessiana come ti viene?

Il determinante della Hessiana viene zero. Io so che per essere strettamente concava devo avere determinante positivo, e il pivot negativo. Ma qui il determinante è zero, dunque non so come comportarmi...

[Noodles1]

"GoldenRatio":
... ma il determinante viene zero.

Confermo:

Funzione

$g=(1/3x^(-a)+2/3y^(-a))^(-1/a)$

Derivate parziali prime

$g_x=1/3x^(-a-1)(1/3x^(-a)+2/3y^(-a))^(-1/a-1)$

$g_y=2/3y^(-a-1)(1/3x^(-a)+2/3y^(-a))^(-1/a-1)$

Derivate parziali seconde

$g_(x x)=-2/9(a+1)x^(-a-2)y^(-a)(1/3x^(-a)+2/3y^(-a))^(-1/a-2)$

$g_(y y)=-2/9(a+1)x^(-a)y^(-a-2)(1/3x^(-a)+2/3y^(-a))^(-1/a-2)$

$g_(x y)=g_(y x)=2/9(a+1)x^(-a-1)y^(-a-1)(1/3x^(-a)+2/3y^(-a))^(-1/a-2)$

Matrice Hessiana

$H(x,y)=2/9(a+1)x^(-a-2)y^(-a-2)(1/3x^(-a)+2/3y^(-a))^(-1/a-2)[[-y^2,xy],[xy,-x^2]] rarr det[H(x,y)]=0$

Inoltre, vale la pena osservare che gli autovettori associati all'autovalore nullo giacciono sulle rette passanti per l'origine:

$[[-y_0^2,x_0y_0],[x_0y_0,-x_0^2]][[x],[y]]=[[0],[0]] rarr y=y_0/x_0x$

"GoldenRatio":
... non so se la tattica dei percorsi possa essere corretta.

Se consideri la restrizione lungo una qualsiasi retta passante per l'origine:

$y=mx rarr$

$rarr g(x,mx)=(1/3x^(-a)+2/3m^(-a)x^(-a))^(-1/a) rarr$

$rarr g(x,mx)=(2/3m^(-a)+1/3)^(-1/a)x$

la funzione è lineare. Ergo, non esiste un punto appartenente al primo quadrante in cui la funzione è strettamente concava.

[Mycroft]

Grazie!!
Io non avrei saputo concludere che dunque non ci sono valori per cui è strettamente concava.

Ho pensato che un esercizio che mi chiede i valori di $a$ per cui una funzione simile abbia tale proprietà dovesse "per forza" avere una soluzione, e invece...