Concavità di una funzione!

[studenteincrisi1]

Per studiare la concavità di una funzione bisogna studiare la derivata seconda ovvero porla >0 e <0 per vedere quando è concava e quando è convessa, ma se la derivata seconda è di difficile risoluzione esistono altri modi o per esempio bisogna dire esiste un valore x0 dal quale la funzione risulterà essere concava ecc che ne dite?

[dissonance]

Il fatto è che lo studio della derivata seconda, quando disponibile, è il sistema più semplice per studiare convessità e concavità. L'alternativa infatti è il cercare di verificare direttamente la definizione: per esempio, per dimostrare che \(e^x\) è convessa su tutto \(\mathbb{R}\) dovresti dimostrare che

\[\forall x, y \in \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0, 1],\quad e^{(1-\lambda)x+\lambda y}\le (1-\lambda)e^x+\lambda e^y.\]

Si può fare, certamente: ma è un casino, quando invece è tanto più semplice studiare il segno della derivata seconda.