Con questo limite come si deve ragionare..?

[smaug1]

\(\displaystyle \lim \) (\(\displaystyle \frac{e^x -1 - 2x}{1-cosx + x^2} \))

\(\displaystyle x \rightarrow 0 \)

A me era venuto in mente di utilizzare al denominatore il limite notevole del coseno, prima di usare taylor, ma si può?, perchè? fino a che grado bisogna sviluppare? Io nel dubbio ho sviluppato fino al secondo ordine e viene:

\(\displaystyle \frac{1 + 2x + 2x^2 -1 -2x}{1-1+ \frac{x^2}{2} + o(x^2) + x^2} \) = \(\displaystyle \frac{2x^2 + o(x^2)}{\frac{3x^2}{2} + o(x^2)} \) = ?

Se così fosse giusto come posso procedere? al denominatore ho una somma...

[Seneca1]

Veramente, dividendo per $x$ al denominatore e al numeratore, otterresti:

$(( e^x - 1)/x - 2)/((1 - cos(x))/x + x)$

Il numeratore tende a $-1$ mentre il denominatore a $0$.

[smaug1]

quindi il risultato è \(\displaystyle -\infty? \)

Tuttavia il testo dice di risolverlo con Taylor...nel modo in cui l'ho fatto io non concludo nulla?

[Seneca1]

Se non avessi sbagliato sviluppando $e^x$ avresti ottenuto anche tu questo risultato.

[Seneca1]

Ora che ci penso: fai attenzione al segno della funzione. Prova a vedere cosa succede per $x -> 0^+$ e per $x -> 0^-$.

Io non ho controllato...

[smaug1]

mi sono accorto che nel testo ho sbagliato a scrivere l'esponente di e, perchè è elevato alla 2x...

[Seneca1]

Il risultato è corretto. Dividendo per $x^2$ sopra e sotto ottieni $lim_(x -> 0) (2 + (o(x^2))/x^2)/( 3/2 + (o(x^2))/x^2) = 2/(3/2) = 4/3$

[smaug1]

si infatti...lo avevo scritto male ma i passaggi erano giusti...poi una cosa che banalmente non capivo era che in questo caso bastava dividere e moltiplicare per \(\displaystyle x^2 \). Grazie ancora!