Composizione suriettiva?

[anto_zoolander]

Salveeee

Ho un dubbio con la suriettività di una funzione composta.

Siano
$f:R->R_(0)^+$, $f:x|->e^x$

$g:[-1,1]->[0,pi]$, $f:x|->arccos(x)$

due funzioni di cui vogliamo fare la composizione $gcircf$

Ció che mi crea perplessità è la seguente proposizione:
se $f,g$ sono iniettive, allora $gcircf$ è iniettiva

Intanto devo rendere $cod(g)subseteqdom(f)$ ed ho due casi. Uno in cui vale la stretta inclusione, uno in cui vale la uguaglianza. Consideriamo prima la stretta inclusione.

Dobbiamo restringere $cod(f)subseteq[-1,1]$ in $]0,1]$ poiché per $yleq0$ la fibra è vuota. Inoltre modifichiamo opportunamente il dominio in $R^-$ adesso possiamo definire la composizione come:

$gcircf:R^(-)->[0,pi]$ sarà la funzione $gcircf:arccos(e^x)$ che graficamente non è palesemente suriettiva. Eppure sono entrambe suriettive.

se invece restringo anche il $dom(g)=cod(f)$ ottengo la funzione

$g:]0,1]->[0,pi/2[$ e componendo adesso le due funzioni:

$gcircf:R^(-)->[0,pi/2[$ che è suriettiva. $<-$ EDIT

Quindi mi sale il dubbio. La proposizione vale solo se $cod(g)=dom(f)$?

[Rigel1]

"anto_zoolander":Ció che mi crea perplessità è la seguente proposizione:
se $f,g$ sono iniettive, allora $gcircf$ è iniettiva

Questa proposizione è corretta.
Se infatti \(x_1, x_2 \in Dom(g \circ f)\), con \(x_1 \neq x_2\), hai che \(f(x_1)\neq f(x_2)\) (per l'iniettività di \(f\)) e dunque \(g(f(x_1)) \neq g(f(x_2))\) (per l'iniettività di \(g\)).

Nel tuo caso, ricordando che
\[
Dom(g \circ f) = \{ x\in Dom(f):\ f(x) \in Dom(g)\},
\]
ottieni
\[
Dom(g \circ f) = \{ x\in\mathbb{R}:\ e^x \in [-1,1]\} = (-\infty, 0].
\]
La funzione composta \( (g\circ f) (x) = \arccos e^x\) è iniettiva nel suo dominio.

[anto_zoolander]

No aspetta ma io parlo per la suriettività.

[Rigel1]

La composizione \(g\circ f \colon (-\infty, 0] \to [0,\pi]\) non è suriettiva, dal momento che l'esponenziale è sempre positivo.

Edit: corretta una svista.

[anto_zoolander]

La funzione $arccos(x)$ ha codominio $[0,pi]$ magari lo hai confuso(?) comunque quello che dico con meno giro di parole è:

$gcircf:R^(-)->]0,pi]$ ottenuta semplicemente soddisfacendo $cod(f)subseteqdom(g)$ ottengo una funzione non suriettiva. Se invece faccio in modo che sia $cod(f)=dom(g)$ allora la funzione
$gcircf:R^(-)->]0,pi/2[$ è suriettiva.

Quindi in sostanza la proposizione vale solo se è verificata la uguaglianza tra $cod(f)$(della f interna) e $dom(g)$(della funzione esterna)

[Rigel1]

"anto_zoolander":La funzione $arccos(x)$ ha codominio $[0,pi]$ magari lo hai confuso(?)

Sì, certo (per qualche motivo stavo pensando ad \(\arcsin\)).

Per l'altra domanda, se \(g\) è suriettiva allora \(Dom(g) = Im(f)\) implica la suriettività della composta. (Se \(g\) non è suriettiva la composta non può, ovviamente, essere suriettiva.)