Composizione di o-piccoli
Buonasera ho un problema con gli o-piccoli
Volevo sapere a quanto equivalesse questo $ o(x+x^2+o(x^2)) $ e se possibile la spiegazione teorica
Volevo sapere a quanto equivalesse questo $ o(x+x^2+o(x^2)) $ e se possibile la spiegazione teorica
Risposte
Ciao! In che contesto? È uscito fuori dal calcolo di un limite? Se sì, puoi riportarlo?
L'esempio fatto è stato creato da me,riporto un limite dove però avviene una cosa simile ovvero dentro l'o-piccolo trovo un altro o-piccolo con però altri fattori ovviamente minori dell'o-piccolo
Il limite simile è $ (sin(e^(x)-1)-x-(x^(2)/2))/x^(4) $ per x che tende a 0
Quando vado a sviluppare mi ritrovo $ o((x^(2)/2 +x^(3)/6 +o(x^(4)))^(4))$
Non so come trattare quest' tipologia di o piccoli composti
Il limite simile è $ (sin(e^(x)-1)-x-(x^(2)/2))/x^(4) $ per x che tende a 0
Quando vado a sviluppare mi ritrovo $ o((x^(2)/2 +x^(3)/6 +o(x^(4)))^(4))$
Non so come trattare quest' tipologia di o piccoli composti
Ok! Iniziamo col dire che, come forse già sai, $\text{o}$-piccolo è una scrittura per indicare un insieme di funzioni: quindi non c'è una risposta univoca, ad esempio $x^2$ è $\text{o}(x)$ quando $x \to 0$ ma anche $x^3$ è $\text{o}(x)$ quando $x \to 0$. Perciò, chiedersi "a cosa equivale" non dà una risposta univoca.
Perciò, contestualmente ai limiti, basta dimostrare quel che serve: sarebbe ottimo, nel caso da te riportato, che $\text{o}\left[(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]$ sia $\text{o}(x^4)$.
Effettivamente è così: si dimostra abbastanza agevolmente a partire da una delle varie definizioni di $\text{o}$-piccolo. Se hai problemi nel farlo, scrivi pure il tuo tentativo di soluzione e lo rivediamo insieme.
Per concludere, riguardo a questo:
Cosa significa "fattori minori dell'-$\text{o}$-piccolo? Forse intendevi dire che il grado di ogni potenza che compare dentro all'$\text{o}$-piccolo "esterno" è sempre minore di quello della potenza argomento dell'$\text{o}$-piccolo "interno"?
Perciò, contestualmente ai limiti, basta dimostrare quel che serve: sarebbe ottimo, nel caso da te riportato, che $\text{o}\left[(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]$ sia $\text{o}(x^4)$.
Effettivamente è così: si dimostra abbastanza agevolmente a partire da una delle varie definizioni di $\text{o}$-piccolo. Se hai problemi nel farlo, scrivi pure il tuo tentativo di soluzione e lo rivediamo insieme.
Per concludere, riguardo a questo:
"Lorenzo0000":
con però altri fattori ovviamente minori dell'o-piccolo
Cosa significa "fattori minori dell'-$\text{o}$-piccolo? Forse intendevi dire che il grado di ogni potenza che compare dentro all'$\text{o}$-piccolo "esterno" è sempre minore di quello della potenza argomento dell'$\text{o}$-piccolo "interno"?
È possibile avere una spiegazione passo passo di come hai fatto, per dire che è uguale a $ o(x^4)$?
Quello che intendevo dire era che siccome dentro l'o-piccolo è contenuto $o(x^4)$ $(x^2)/2$$(x^3)/6$ se gli altri due termini fossero stati di grado superiore a $o(x^4) $ sarebbe stato banale poichè "sarebbero stati mangiati" da $o(x^4)$ e quindi diventava $o(o(x^4))^4$ e quindi $o(o(x^16))$ e quindi $o(x^16)$
Oppure non è così, con queste condizioni degli altri due termini?
Oppure non è così, con queste condizioni degli altri due termini?
Passo passo no, ma ti aiuto a impostarlo e ti confermo/smentisco cosa viene fuori se lo scrivi qui; anche a più riprese, fino alla soluzione del problema.
Dato che $x^4 \ne 0$ in ogni intorno bucato di $0$, per definizione di $\text{o}$-piccolo dimostrarlo è equivalente a dimostrare che:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\text{o}\left[\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]}{x^4}=0$$
Visto che nell'ultimo messaggio hai mostrato di conoscere le proprietà fagocitanti di $\text{o}$-piccolo e come esso si comporta rispetto all'elevamento a potenza, prova a dimostrare che questo limite è effettivamente $0$. Armati di pazienza e fai questi contacci
.
Anche se, effettivamente, forse per fare i conti ti conviene usare l'esempio $\text{o}(x+x^2+o(x^2))$ e dimostrare che, ad esempio, è $\text{o}(x)$; l'altro ti fa fare solo un mucchio di conti in più ed è concettualmente uguale.
Riguardo a questo:
Credo intendessi "di grado superiore a $x^4$" anziché "di grado superiore a $\text{o}(x^4)$", visto che $\text{o}(f(x))$ non è necessariamente un polinomio: ad esempio, $x^2 \sin \frac{1}{x}$ è $\text{o}(x)$ ma $x^2 \sin \frac{1}{x}$ è ben lungi dall'essere un polinomio. Comunque sì, questo è vero.
Dato che $x^4 \ne 0$ in ogni intorno bucato di $0$, per definizione di $\text{o}$-piccolo dimostrarlo è equivalente a dimostrare che:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\text{o}\left[\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]}{x^4}=0$$
Visto che nell'ultimo messaggio hai mostrato di conoscere le proprietà fagocitanti di $\text{o}$-piccolo e come esso si comporta rispetto all'elevamento a potenza, prova a dimostrare che questo limite è effettivamente $0$. Armati di pazienza e fai questi contacci
.Anche se, effettivamente, forse per fare i conti ti conviene usare l'esempio $\text{o}(x+x^2+o(x^2))$ e dimostrare che, ad esempio, è $\text{o}(x)$; l'altro ti fa fare solo un mucchio di conti in più ed è concettualmente uguale.
Riguardo a questo:
"Lorenzo0000":
Quello che intendevo dire era che siccome dentro l'o-piccolo è contenuto $ o(x^4) $ $ (x^2)/2 $$ (x^3)/6 $ se gli altri due termini fossero stati di grado superiore a $ o(x^4) $ sarebbe stato banale poichè "sarebbero stati mangiati" da $ o(x^4) $ e quindi diventava $ o(o(x^4))^4 $ e quindi $ o(o(x^16)) $ e quindi $ o(x^16) $
Oppure non è così, con queste condizioni degli altri due termini?
Credo intendessi "di grado superiore a $x^4$" anziché "di grado superiore a $\text{o}(x^4)$", visto che $\text{o}(f(x))$ non è necessariamente un polinomio: ad esempio, $x^2 \sin \frac{1}{x}$ è $\text{o}(x)$ ma $x^2 \sin \frac{1}{x}$ è ben lungi dall'essere un polinomio. Comunque sì, questo è vero.
Allora io ho fatto cosi
$ o(x^2(1/2 + x/6+o(x^2))^4)$ quindi $o(x^8(1/16(1+o(1)))$ e quindi $o(x^8)$ giusto?
$ o(x^2(1/2 + x/6+o(x^2))^4)$ quindi $o(x^8(1/16(1+o(1)))$ e quindi $o(x^8)$ giusto?
Occhio alle parentesi: è $\text{o}\left(\left(x^2\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{6}+\text{o}(x^2)\right)\right)^4\right)$.
Didatticamente, non mi convince. Perché è vero che $\text{o}(fg)$ è $\text{o}(f) \cdot \text{o}(g)$ per $x \to x_0$, ma comunque ti ritrovi con $\text{o}(x^8) \cdot \text{o}(1+\text{o}(1))$ e sei di nuovo al punto di partenza con gli $\text{o}$-piccolo annidati; così non ti togli appieno il dubbio, secondo me.
Se guardi questo post di gugo82, c'è una definizione rigorosa di $\text{o}$-piccolo: quella definizione è equivalente a dire che $f$ è $\text{o}(g)$ se esiste una funzione $\omega$ tale che $f(x)=g(x)\omega(x)$ con $\omega(x) \to 0$ per $x \to x_0$.
Nel nostro caso, quindi, probabilmente con gli stessi conti da te fatti hai che per $x \to 0$:
$$\text{o}\left[\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]=\text{o}\left[\frac{x^8}{16}+\text{o}(x^8)\right]$$
Per la definizione equivalente che ti ho citato prima, esiste $\omega$ tale che $\text{o}\left[\frac{x^8}{16}+\text{o}(x^8)\right]=[\frac{x^8}{16}+\text{o}(x^8)\right] \omega(x)$ con $\omega(x) \to 0$ per $x \to 0$. Adesso siamo nel caso con un solo $\text{o}$-piccolo, che non ti dà problemi. Quindi:
$$\text{o}\left[\frac{x^8}{16}+\text{o}(x^8)\right]=\left[\frac{x^8}{16}+\text{o}(x^8)\right]\omega (x)=x^4 \left[\frac{x^4}{16}\omega(x)+\frac{\text{o}(x^8)}{x^8}x^4 \omega (x)\right]$$
Dato che $\omega (x) \to 0$ per $x \to 0$, segue che $[\frac{x^4}{16}\omega(x)+\frac{\text{o}(x^8)}{x^8}x^4 \omega (x)\right] \to 0$ per $x \to 0$.
Perciò, posto $\tilde{\omega} (x) =[\frac{x^4}{16}\omega(x)+\frac{\text{o}(x^8)}{x^8}x^4 \omega (x)\right]$, hai che $\text{o}\left[\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]=x^4 \tilde{\omega} (x)$ con $\tilde{\omega}(x) \to 0$ per $x \to 0$, ossia $\text{o}\left[\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]$ è $\text{o}(x^4)$.
Didatticamente, non mi convince. Perché è vero che $\text{o}(fg)$ è $\text{o}(f) \cdot \text{o}(g)$ per $x \to x_0$, ma comunque ti ritrovi con $\text{o}(x^8) \cdot \text{o}(1+\text{o}(1))$ e sei di nuovo al punto di partenza con gli $\text{o}$-piccolo annidati; così non ti togli appieno il dubbio, secondo me.
Se guardi questo post di gugo82, c'è una definizione rigorosa di $\text{o}$-piccolo: quella definizione è equivalente a dire che $f$ è $\text{o}(g)$ se esiste una funzione $\omega$ tale che $f(x)=g(x)\omega(x)$ con $\omega(x) \to 0$ per $x \to x_0$.
Nel nostro caso, quindi, probabilmente con gli stessi conti da te fatti hai che per $x \to 0$:
$$\text{o}\left[\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]=\text{o}\left[\frac{x^8}{16}+\text{o}(x^8)\right]$$
Per la definizione equivalente che ti ho citato prima, esiste $\omega$ tale che $\text{o}\left[\frac{x^8}{16}+\text{o}(x^8)\right]=[\frac{x^8}{16}+\text{o}(x^8)\right] \omega(x)$ con $\omega(x) \to 0$ per $x \to 0$. Adesso siamo nel caso con un solo $\text{o}$-piccolo, che non ti dà problemi. Quindi:
$$\text{o}\left[\frac{x^8}{16}+\text{o}(x^8)\right]=\left[\frac{x^8}{16}+\text{o}(x^8)\right]\omega (x)=x^4 \left[\frac{x^4}{16}\omega(x)+\frac{\text{o}(x^8)}{x^8}x^4 \omega (x)\right]$$
Dato che $\omega (x) \to 0$ per $x \to 0$, segue che $[\frac{x^4}{16}\omega(x)+\frac{\text{o}(x^8)}{x^8}x^4 \omega (x)\right] \to 0$ per $x \to 0$.
Perciò, posto $\tilde{\omega} (x) =[\frac{x^4}{16}\omega(x)+\frac{\text{o}(x^8)}{x^8}x^4 \omega (x)\right]$, hai che $\text{o}\left[\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]=x^4 \tilde{\omega} (x)$ con $\tilde{\omega}(x) \to 0$ per $x \to 0$, ossia $\text{o}\left[\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]$ è $\text{o}(x^4)$.
Mi sto un attimo perdendo
Prima io ho messo che è un $o(x^8)$ potevo anche direttamente mettere $o(x^4)$ giusto? Visto che $o(x^4)$ è un $o(x^8)$ e quello che tu hai scritto adesso è la dimostrazione di quest'ultima frase? Correggimi se sbaglio
Prima io ho messo che è un $o(x^8)$ potevo anche direttamente mettere $o(x^4)$ giusto? Visto che $o(x^4)$ è un $o(x^8)$ e quello che tu hai scritto adesso è la dimostrazione di quest'ultima frase? Correggimi se sbaglio
Sì, è vero che $\text{o}(x^8)$ è un $\text{o}(x^4)$. Tuttavia, tu arrivi a $\text{o}\left(\frac{x^8}{16}\left(1+\text{o}(1\right)\right)\right)$ e ciò non ti aiuta granché, visto che il tuo dubbio è proprio su come muoversi quando si hanno molteplici $\text{o}$-piccoli; quindi, a priori, non sai se è vero che $\text{o}\left(\frac{x^8}{16}\left(1+\text{o}(1\right)\right)\right)$ è un $\text{o}(x^8)$ e, conseguentemente dal fatto che è un $\text{o}(x^8)$, che è un $\text{o}(x^4)$.
Devi dimostrarlo che è un $\text{o}(x^8)$, e per farlo devi passare comunque per la definizione con i conti che ti ho scritto (quella che ho scritto io è la dimostrazione che $ \text{o}\left[\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]$ è un $\text{o}(x^4)$).
Devi dimostrarlo che è un $\text{o}(x^8)$, e per farlo devi passare comunque per la definizione con i conti che ti ho scritto (quella che ho scritto io è la dimostrazione che $ \text{o}\left[\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^4)\right)^4\right]$ è un $\text{o}(x^4)$).
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