Composizione di funzioni usando il grafico

[stefano8612]

Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà a risolvere questa tipologia di esercizio:

Sia data la funzione $f$ il cui grafico è rappresentato in figura:
[img]http://www.mediafire.com/convkey/cf87/8267kphkp0824o3zg.jpg?size_id=6[/img]
Si consideri quindi la funzione: $h(x) = log f(x)$.
Determinare:
(a) il dominio di $h$
(b) i limiti di $h$ agli estremi del suo dominio
(c) gli intervalli di monotonia di $h$.
Tracciare quindi un grafico qualitativo di $h$.

Non so proprio come iniziare. Come trovo il dominio di $h$?
Se avessi la funzione $f$ in formula (non solo con il grafico), allora saprei come procedere.. ma così no. E ricavare la formula dal grafico non mi sembra un'idea furba. Anche perchè se la funzione $f$ è complicata non saprei come fare..

Grazie

[Pachisi]

La funzione $h(x)=log f(x)$ e` definita solo quando $f(x)>0$ (basta che consideri il dominio del logaritmo). Dal grafico vedi chiaramente dove succede.

[stefano8612]

Grazie. Quindi per determinare il dominio di una funzione composta devo fare l'"intersezione" dei due domini?
E per i limiti? Il problema è che non riesco proprio ad immaginarmi la funzione $log f(x)$..

[Pachisi]

Non so se hai capito, ma sei d'accordo che $log f(x)$ e` definita solo quando $f(x)>0$?
Dal grafico, $f(x)>0$ per $xB$. Riesci a drimi i valori di A e B?
Dopo passi ai limiti ed esamini cosa succede a $log f(x)$ per agli estremi del dominio.

[stefano8612]

"Pachisi":Non so se hai capito, ma sei d'accordo che $log f(x)$ e` definita solo quando $f(x)>0$?
Dal grafico, $f(x)>0$ per $xB$. Riesci a drimi i valori di A e B?
Dopo passi ai limiti ed esamini cosa succede a $log f(x)$ per agli estremi del dominio.

Più o meno d'accordo. Il dominio di $log f(x)$ è $AA x > 0$ quindi il dominio di $h$ non è anch'esso $AA x > 0$ (cioè solo "metà" parabola)?

[Pachisi]

No. $log x$ e` definita per $x>0$. $log f(x)$ e` definita per $f(x)>0$. (L'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero).

[stefano8612]

Giusto, è vero. Ok allora $f(x)>0$ per $x>2 \vee x<-1$ perciò il dominio di $h$ è $dom (h) = x>2 \vee x<-1$.
Per limiti devo calcolare:
$\lim_{x \to -1} logf(x)$
$\lim_{x \to 2} logf(x)$
Mmm bene.. Come si fa? Scusa, sembrerò deficiente ma non capisco.. come ho scritto prima, non mi immagino il disegno di $h$ e quindi ho qualche difficoltà.

Altrimenti potrei ragionare in questo modo:
$\lim_{x \to -1} f(x) = 0$
$\lim_{x \to 2} f(x) = 0$
e quindi:
$\lim_{x \to -1} logf(x)= log0 = \not\exists$
$\lim_{x \to 2} logf(x) = log0 = \not\exists$
Mi sembra un pò strano...

PS: i limiti da calcolare sono quelli oppure devo fare i lim dx e sx di $2$ e $-1$?

[Pachisi]

Gli estremi del dominio sono $-\infty$, $-1^-$, $2^+$, $+\infty$. Prendi il limite in quei punti.

[stefano8612]

Ok, e per la monotonia?
Comunque grazie...

[Pachisi]

La composizione di due funzioni monotone e` una funzione monotona. Nel nostro caso, sia $g(x)=log x$, allora $h(x)=g(f(x))$. Ora, $log x$ e` monotona in tutto il dominio, mentre $f(x)$ non e` monotona in tutto il suo dominio, pero` lo e` per alcuni intervalli. Per $x>2$, infatti, e` monotona crescente. Quindi, per $x>2$, visto che che la composizione di due funzioni monotone e` una funzione monotona, $log f(x)$ sara` monotona. Dal calcolo dei limiti che hai fatto, puo` dire in quale direzione. (Puoi anche notare eventuali asintoti verticali per fare il grafico di $h(x)$). Ora puoi continuare tu.

[stefano8612]

Ok, quindi la mia soluzione all'esercizio sarebbe:

[list=a](a) $Dom(h(x)) = \AA x<-1 \vee x>2$[/list:o:2jyjc6vt]
[list=b](b) Siccome:

$\lim_{x \to -\infty}f(x) = +\infty$[/list:u:2jyjc6vt]

$\lim_{x \to -1^-}f(x) = 0$[/list:u:2jyjc6vt]

$\lim_{x \to 2^+}f(x) = 0$[/list:u:2jyjc6vt]

$\lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty$[/list:u:2jyjc6vt]
Allora:

$\lim_{x \to -\infty}logf(x) = [log(+\infty)]=+\infty$[/list:u:2jyjc6vt]

$\lim_{x \to -1^-}logf(x) = [log(0)]=\not \EE$[/list:u:2jyjc6vt]

$\lim_{x \to 2^+}logf(x) = [log(0)]=\not \EE$[/list:u:2jyjc6vt]

$\lim_{x \to +\infty}logf(x) = [log(+\infty)]=+\infty$[/list:u:2jyjc6vt]
[/list:o:2jyjc6vt]
[list=a](c) $h(x)$ è crescente per $x>2$ e decrescente per $x<-1$.[/list:o:2jyjc6vt]
Sul grafico ho dei dubbi: potrebbero andare entrambi i grafici disegnati (quello rosso o quello verde o un misto tra i due)?
Perchè chi l'ha detto che devono esserci asintoti verticali in $x=-1$ e $x=2$? Non potrebbe semplicemente $h(x)$ non essere definita in quei punti?

[Pachisi]

Veramente e` $ \lim_{x \to -1^-}f(x) = 0^+ $ e$ \lim_{x \to 2^+}f(x) = 0^+ $, quindi $ \lim_{x \to -1^-}logf(x) = -\infty$ e stessa cosa per $x \rightarrow 2^+$. Quindi ci sono asintoti verticali in quei due punti. Ora il grafico dovrebbe venire.

[stefano8612]

Ora ho capito. Grazie mille!

[dissonance]

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