COMPOSIZIONE DI FUNZIONI PERIODICHE

[mogra17]

salve, non riesco a rispondere ai seguenti quesiti.
Siano f,g funzioni per cui è ben definita f o g, chiediamo se f o g è periodica nei seguenti casi
1)se f è periodica e g e periodica allora f o g è?
2) se f è periodica e g non è periodica allora f o g è?
3) se f non è periodica e g è periodica allora f o g è?
4) se f non è periodica e g non è periodica allora f o g è?
PS: quest'esercizio è stato preso dal libro "ANALISI MATEMATICA " scritto da bramanti pagani salsa editore zanichelli, l'esercizio è il numero 6 di pagina 86

[Bremen000]

1)
Sia $f$ periodica e sia $g$ periodica e siano $D_{f}$ e $D_{g}$ i loro domini, ovvero esistono $T,K \in (0,+\infty)$ t.c. :

$f(x+T) = f(x) \quad \forall x \in D_{f} \quad (\triangle) $
$g(x+K) = g(x) \quad \forall x \in D_{g} \quad (\ast) $

Valutiamo $(f \circ g) (x+K) $:

$(f \circ g) (x+K) = f(g(x+K)) \overset{\ast}{=} f(g(x)) = (f \circ g) (x) $


Sai continuare?

[mogra17]

non so continuare per gli altri 3 casi rimanenti, un ulteriore domanda, che significato hanno i simboli tra parentesi dopo le funzioni (DELTA)(*)?

[Bremen000]

I simboli servivano solo per richiamare una proprietà nello svolgimento, infatti dove ho scritto $\overset{\ast}{=}$ significa che ho usato la proprietà $(\ast)$ per quel passaggio..

Prova ad applicare lo stesso procedimento agli altri.

[mogra17]

ok va bene la ringrazio, però non so come scrivere la funzione non periodica e quindi non riesco ad impostare la risoluzione degli altri punti. Le spiego per dire che una funzione è periodica scrivo f(x+T)=f(x) ∀x∈Df , per scrivere che una funzione non è periodica come lo scrivo?

[Bremen000]

Dammi del tu!!

1) Fatto.

3) Identico all'uno (infatti non ho mai usato l'ipotesi che $f$ fosse periodica).

2) Considera ad esempio $f(x)=\cos(x)$ e $g(x)= x\sin(x)$ e $f(x)=cos(x)$ e $g(x)=3x$

4) Considera ad esempio $f(x)= \log(x)$ e $g(x)=3x$.