Composizione $C^oo$
Sera forummisti 
Vorrei fare una domanduccia che non ho bene idea come formalizzare.
Il professre ha fatto il seguente discorso: abbiamo una composizione di funzioni $A->B⊆RR^2->C⊆RR^2$
sia $phi∘psi$ tal composizione, e sappiamo che $phi in C^oo$ ma $psi$ no.
Si può pero nel nostro studio vedere $B⊆RR^3$ così come $C⊆RR^3$ e quindi estendere $Phi:RR^3->RR^3$ e qui sappiamo fare le derivate direzionali in ogni direzione ecc.
In pratica il problema era che B e C sono insiemi bidimensionali in $RR^3$ dove sappiamo cosa sono gli aperti di R3 ma non di R2 (i vari dischi non sono aperti in $RR^3$, questo era il senso e..)..questo era l'inghippo.
A questo punto il prof dice: $Phi∘psi$ è $C^oo$ e quindi la sua restizione lo è.
Ho quindi due dubbi su come interpretare la faccenda:
1) Il punto è che se io restringo $phi∘psi$ torno al caso precedente e a me non pare che restringendo $Phi in C^oo$ su dominio 2-D abbia ancra una cosa $C^oo$ o sì? Non capisco perché e nel caso come mostrarlo.
Vorrei chiedervi quindi in tal caso come dimostro che questa restizione è o non è differenziabile?
2) Tutavia è vero che guardando il dominio della composizione (cioè restingendomi a guardare quello) ho la funzione suriettiva $Phi∘psi:(dompsi)->im(phi)$ e questa fose è $C^oo$?
Di nuovo però: come lo mostro?
Non essendo in grado chiedo aiuto
Vorrei fare una domanduccia che non ho bene idea come formalizzare.
Il professre ha fatto il seguente discorso: abbiamo una composizione di funzioni $A->B⊆RR^2->C⊆RR^2$
sia $phi∘psi$ tal composizione, e sappiamo che $phi in C^oo$ ma $psi$ no.
Si può pero nel nostro studio vedere $B⊆RR^3$ così come $C⊆RR^3$ e quindi estendere $Phi:RR^3->RR^3$ e qui sappiamo fare le derivate direzionali in ogni direzione ecc.
In pratica il problema era che B e C sono insiemi bidimensionali in $RR^3$ dove sappiamo cosa sono gli aperti di R3 ma non di R2 (i vari dischi non sono aperti in $RR^3$, questo era il senso e..)..questo era l'inghippo.
A questo punto il prof dice: $Phi∘psi$ è $C^oo$ e quindi la sua restizione lo è.
Ho quindi due dubbi su come interpretare la faccenda:
1) Il punto è che se io restringo $phi∘psi$ torno al caso precedente e a me non pare che restringendo $Phi in C^oo$ su dominio 2-D abbia ancra una cosa $C^oo$ o sì? Non capisco perché e nel caso come mostrarlo.
Vorrei chiedervi quindi in tal caso come dimostro che questa restizione è o non è differenziabile?
2) Tutavia è vero che guardando il dominio della composizione (cioè restingendomi a guardare quello) ho la funzione suriettiva $Phi∘psi:(dompsi)->im(phi)$ e questa fose è $C^oo$?
Di nuovo però: come lo mostro?
Non essendo in grado chiedo aiuto
Risposte
Mi sembra un discorso un po' strano, di cui comunque il punto dovrebbe essere che a quanto pare si riesce a capire che esiste una funzione $C^\infty(RR^3)$ la cui restrizione ad $A$ è $\psi$. A questo punto ne segue che $\psi$ è $C^\infty$.
Sì in effetti ho schematizzato male A→B⊆R2→C⊆R2 perché era meglio dire B fosse sottoinsiemi di R3 di cui non sapevo la topologia; il punto è che in un certo senso questo discorso può essere utile per parametrizzare oggetti "bidimensionali" come superfici dove se prendo $phi: S->RR^2$ non so cosa sia la differenziabilità.
Quindi posso estendere la funzione estendendo il dominio a un S'=M aperto in R3 a partire da S e avere $phi:M⊆RR^3->RR^3$ con M aperto che in qualche mdo estende S con sollevamenti.
Comunque senza star a dilungare sull'utilità o meno, mi interessava però capire il senso che non mi è chiaro, ti spiego:
Mettiam appunto di avere $A⊆R^2→S⊆R^3→C⊆R^2$ la composizione $phi∘ψ$
io ho l'estensione $Φ∘ψ$ che so essere $C^oo$ perché in particolare Φ estesa su M di R3->R3 lo è, e sono contento, e poi il prof dice per restrizione $Φ->phi$ e sono a posto; ma se io restringo $Phi$ a $phi$ non torno di nuovo al caso precedente? Perché una funzione $Phi$ differenziabile ristretta sul dominio $S$ di nuovo (come era $phi$) dovrebbe essere differenziabile ancora? Se prima mi dava problemi mi sembra darli ancora.
Intuitivamente il problema mi par essere che su S io non posso "sparare" la derivazione in tutte le direzioni come in R3 (non posso definire la superficie come "aperto" a priori -lasciamo da parte il darle una topologia-), quindi non riesco a vedere una differenziabilità, estendo allora il dominio S a un aperto M di R3 dove le derivate direzionali in tutte le direzioni sono ben definite e so classificarla $C^oo$ l'estensione.
ora, il prof dice: se orarestingo $Phi$ di nuovo a $phi$ essa è $C^oo$, ma a me sembra di aver fatto tutto il giro per tornare al punto di partenza, coem si dimosra quindi che data una $F$ C infinito quando ristretta su un nuovo dominio "sottoinsieme qualunque del dominio di F" ho $f$ anche lei ristretta C infinito?
Riassumendo: se ho $f:S->R$ con S insieme per cui non so dare definizione di differenziabilità per f, allora estendo f a F essendo S sottoinsieme di R3 e dico $F:R^3->R$, qui posso darle definizione di Coo.
Il punto cruciale che vorrei domostrare: se restingo il dominio di F a quello di f ho $f:S->R$ ed essa è ora Coo in quanto restrizione di funzione Coo.
A me sta cosa non torna e vorrei capire se è dimostrabile
Quindi posso estendere la funzione estendendo il dominio a un S'=M aperto in R3 a partire da S e avere $phi:M⊆RR^3->RR^3$ con M aperto che in qualche mdo estende S con sollevamenti.
Comunque senza star a dilungare sull'utilità o meno, mi interessava però capire il senso che non mi è chiaro, ti spiego:
"otta96":
esiste una funzione $C^\infty(RR^3)$ la cui restrizione ad $A$ è $\psi$. A questo punto ne segue che $\psi$ è $C^\infty$.
Mettiam appunto di avere $A⊆R^2→S⊆R^3→C⊆R^2$ la composizione $phi∘ψ$
io ho l'estensione $Φ∘ψ$ che so essere $C^oo$ perché in particolare Φ estesa su M di R3->R3 lo è, e sono contento, e poi il prof dice per restrizione $Φ->phi$ e sono a posto; ma se io restringo $Phi$ a $phi$ non torno di nuovo al caso precedente? Perché una funzione $Phi$ differenziabile ristretta sul dominio $S$ di nuovo (come era $phi$) dovrebbe essere differenziabile ancora? Se prima mi dava problemi mi sembra darli ancora.
Intuitivamente il problema mi par essere che su S io non posso "sparare" la derivazione in tutte le direzioni come in R3 (non posso definire la superficie come "aperto" a priori -lasciamo da parte il darle una topologia-), quindi non riesco a vedere una differenziabilità, estendo allora il dominio S a un aperto M di R3 dove le derivate direzionali in tutte le direzioni sono ben definite e so classificarla $C^oo$ l'estensione.
ora, il prof dice: se orarestingo $Phi$ di nuovo a $phi$ essa è $C^oo$, ma a me sembra di aver fatto tutto il giro per tornare al punto di partenza, coem si dimosra quindi che data una $F$ C infinito quando ristretta su un nuovo dominio "sottoinsieme qualunque del dominio di F" ho $f$ anche lei ristretta C infinito?
Riassumendo: se ho $f:S->R$ con S insieme per cui non so dare definizione di differenziabilità per f, allora estendo f a F essendo S sottoinsieme di R3 e dico $F:R^3->R$, qui posso darle definizione di Coo.
Il punto cruciale che vorrei domostrare: se restingo il dominio di F a quello di f ho $f:S->R$ ed essa è ora Coo in quanto restrizione di funzione Coo.
A me sta cosa non torna e vorrei capire se è dimostrabile
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Ma il punto è che per le superfici in $RR^3$ puoi dare una definizine di differenziabilità, ed è quella che passa dalla parametrizzazione, ma ha più a che fare con la differenziabilità delle funzioni in due variabili che in tre.
Se proprio vuoi definire la differenziabilità da un sottoinsieme qualsiasi, puoi farlo dicendo che una funzione è differenziabile se esiste un aperto che contiene l'insieme e una funzione differenziabile definita su quell'aperto la cui restrizione coincide con la funzione di partenza. Se poi ti chiedi se nel caso delle superfici le due definizioni coincidono, è così ed è abbastanza facile da controllarne una direzione, mentra l'altra molto meno, ma ho trovato questo,che non è affatto facile, ma da cui discende facilmente quello che ci interessa.
Se proprio vuoi definire la differenziabilità da un sottoinsieme qualsiasi, puoi farlo dicendo che una funzione è differenziabile se esiste un aperto che contiene l'insieme e una funzione differenziabile definita su quell'aperto la cui restrizione coincide con la funzione di partenza. Se poi ti chiedi se nel caso delle superfici le due definizioni coincidono, è così ed è abbastanza facile da controllarne una direzione, mentra l'altra molto meno, ma ho trovato questo,che non è affatto facile, ma da cui discende facilmente quello che ci interessa.
Ti ringrazio per il link, è molto interessante.
Diciamo che vorrei in realtà estrapolare il discorso dal fatto che S sia una superficie e dalla reale utilità come parametrizzazioni ecc. Insomma chiamo S superficie ma diciamo chesia un insieme qualunque di cui non so se posso usarlo per definire de una funzione che parte da esso sia differenziabile, proprio perché come una superficie non so su di essa cosa voglia dire fare il differenziale di una funz. che lo abbia per dominio.
Allora mi chiedo:
""
In un certo senso quello che dico sopra è: se ho $f:S->R$ con S insieme per cui non so dare definizione di differenziabilità per f, allora estendo f a F essendo S sottoinsieme di R3 posso estendere impunemente, e definisco la $F:R^3->R$, qui posso darle definizione di $C^oo$.
Il punto cruciale che vorrei capire e chiederti[nota]essendo molto più preparato di me[/nota]: se restingo il dominio di F a quello di f ho nuovamente $f:S->R$ ed essa è ora $^oo$ in quanto restrizione di funzione $C^oo$. Secondo me no. Te che ne pensi? perché a me pare di avere la stessa funzione di prima.
""
Diciamo che vorrei in realtà estrapolare il discorso dal fatto che S sia una superficie e dalla reale utilità come parametrizzazioni ecc. Insomma chiamo S superficie ma diciamo chesia un insieme qualunque di cui non so se posso usarlo per definire de una funzione che parte da esso sia differenziabile, proprio perché come una superficie non so su di essa cosa voglia dire fare il differenziale di una funz. che lo abbia per dominio.
Allora mi chiedo:
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Intuitivamente il problema mi par essere che su S io non posso "sparare" la derivazione in tutte le direzioni come in R3 (non posso definire la superficie come "aperto" a priori -lasciamo da parte il darle una topologia-), quindi non riesco a vedere una differenziabilità, estendo allora il dominio S a un aperto M di R3 dove le derivate direzionali in tutte le direzioni sono ben definite e so classificarla $C^oo$ l'estensione.
ora, il prof dice: se ora restingo $Phi$ di nuovo a $phi$ essa è $C^oo$, ma a me sembra di aver fatto tutto il giro per tornare al punto di partenza, come si dimosra quindi che data una $F$ C infinito quando ristretta su un nuovo dominio "sottoinsieme qualunque del dominio di F" ho $f$ anche lei ristretta C infinito?
In un certo senso quello che dico sopra è: se ho $f:S->R$ con S insieme per cui non so dare definizione di differenziabilità per f, allora estendo f a F essendo S sottoinsieme di R3 posso estendere impunemente, e definisco la $F:R^3->R$, qui posso darle definizione di $C^oo$.
Il punto cruciale che vorrei capire e chiederti[nota]essendo molto più preparato di me
[/nota]: se restingo il dominio di F a quello di f ho nuovamente $f:S->R$ ed essa è ora $^oo$ in quanto restrizione di funzione $C^oo$. Secondo me no. Te che ne pensi? perché a me pare di avere la stessa funzione di prima.""
Se non ne dai una definizione non ha proprio senso chiedersi se una cosa abbia una proprietà.
La domanda voleva solo essere: ma se una funzione è C^oo tra R3->R3 lo è anche su qualsiasi sua restrizione?
Secondo me no, proprio perché restringendola su un suo sottoinsieme di R3 potrei non avere ben definito cosa sia differenabilità.
Quindi la differenziabilità è una proprietà che non viene ereditata da tutte le sue funzioni restrizioni.
Volevo solo capire se questa risposta che mi ero dato fosse corretta. Tu che ne pensi?
Forse ho allungato troppo il brodo ma volevo solo capire quello, e mi sembra dalla tua risposta precedente che cndividi sbaglio?
Secondo me no, proprio perché restringendola su un suo sottoinsieme di R3 potrei non avere ben definito cosa sia differenabilità.
Quindi la differenziabilità è una proprietà che non viene ereditata da tutte le sue funzioni restrizioni.
Volevo solo capire se questa risposta che mi ero dato fosse corretta. Tu che ne pensi?
Forse ho allungato troppo il brodo ma volevo solo capire quello, e mi sembra dalla tua risposta precedente che cndividi
sbaglio?
Il punto è sempre che se prima non definisci cosa vuol dire differenziabile per un insieme qualsiasi la domanda non ha senso.
Sì quello mi era chiaro.
Il punto è che dal discorso svolto dal prof pareva che prendere una Coo da R3->R3 e restringendola, essa facesse ereditare l'essere Coo su un qualunque sottoinsieme su cui la restringi come dominio.
Il mio appunto era che secondo me non ha senso (proprio per quello che dici, nel senso che come faccio a dire che rimane differenziabile su S se non so cosa sia differenziare su S?) perché non è una proprietà ereditabile, dovrei definirla su quel sottoinsieme.
Il fatto è che il prof sembrava prendre come definizione: "se differenzaibile da R3 a R3 allora definisco differenziabile la sua restrizine su un insieme qualunque". Ma non mi pare una cosa che funziona.
in alcuni casi funziona, ad esempio se restringo R3->R3 a R2->R^3 resta Coo, quindi uno sbagliando potrebbe dire, allora lo rimane su qualunque sottoinsieme. Ma questo si può fare perché so definire cosa è Coo per R2->R3.
Poi, come discorso aggiuntivo, il perché non sia ereditabile non mi è chiarissimo:
D'altra parte certe proprietà si erdeitano anche sui sottoinsiemi senza doverle definire sul sottoinsieme, che so se io prendo l'operazine moltiplicazione per scalare di uno spazio vettoriale, se la restingo su un sottospazio ho che $0*x=0$ anche nel sottospazio. Ma non devo ivi ridefinirla.
Così come la proprietà di una forma bilineare simmetrica rimane che su un sottospazio ha ancora la proprietà di essere simmetrica, ma non la sto ridefinendo su quel sottospazio.
E quindi non comprendo perché Coo non è ereditabile in modo analogo? A priori uno potrebbe pensare che lo sia
Il punto è che dal discorso svolto dal prof pareva che prendere una Coo da R3->R3 e restringendola, essa facesse ereditare l'essere Coo su un qualunque sottoinsieme su cui la restringi come dominio.
Il mio appunto era che secondo me non ha senso (proprio per quello che dici, nel senso che come faccio a dire che rimane differenziabile su S se non so cosa sia differenziare su S?) perché non è una proprietà ereditabile, dovrei definirla su quel sottoinsieme.
Il fatto è che il prof sembrava prendre come definizione: "se differenzaibile da R3 a R3 allora definisco differenziabile la sua restrizine su un insieme qualunque". Ma non mi pare una cosa che funziona.
in alcuni casi funziona, ad esempio se restringo R3->R3 a R2->R^3 resta Coo, quindi uno sbagliando potrebbe dire, allora lo rimane su qualunque sottoinsieme. Ma questo si può fare perché so definire cosa è Coo per R2->R3.
Poi, come discorso aggiuntivo, il perché non sia ereditabile non mi è chiarissimo:
D'altra parte certe proprietà si erdeitano anche sui sottoinsiemi senza doverle definire sul sottoinsieme, che so se io prendo l'operazine moltiplicazione per scalare di uno spazio vettoriale, se la restingo su un sottospazio ho che $0*x=0$ anche nel sottospazio. Ma non devo ivi ridefinirla.
Così come la proprietà di una forma bilineare simmetrica rimane che su un sottospazio ha ancora la proprietà di essere simmetrica, ma non la sto ridefinendo su quel sottospazio.
E quindi non comprendo perché Coo non è ereditabile in modo analogo? A priori uno potrebbe pensare che lo sia
Perchè le operazioni sono definite su tutti gli insiemi, mentre la definizione di funzione differenziabile richiede che il dominio della funzione sia di un certo tipo che non è chiuso rispetto a prendere un sottoinsieme.
Mentre se si definisce come vuole fare il prof, e come hodetto anche io in un messaggio precedente, allora la proprietà di essere $C^\infty$ passa alle restrizioni del dominio, semplicemente per definizione.
Mentre se si definisce come vuole fare il prof, e come hodetto anche io in un messaggio precedente, allora la proprietà di essere $C^\infty$ passa alle restrizioni del dominio, semplicemente per definizione.
Grazie mille peril tuo aiuto.
Direi che mi hai risolto i dubbi, gentilissimo davvero!
Direi che mi hai risolto i dubbi, gentilissimo davvero!
@otta96.
Scusa se ti disturbo ancora un ultima volta, però dato che avevo avuto la utile discussionecon te volevo chiederti una informazione riguardo il prosieguo del discorso del prof.
In particolare ha fatto un magheggio che non mi convince proprio per le cose che ci siamo detti,
ha preso una f $C^oo$ funzione A->B dove A è un sottoinsieme di R^2 aperto mentre B può essere la solita superficie in R3.
poi ha considerato $f^-1$
e ha detto dato che la composizione è $C^oo$ essendo l'identità e f è $C^oo$ allora $f^-1$ è $C^oo$.
Però dato che $f^-1$ va da B ad A con B che non è dominio su cui posso parlare di differenziabilità (a menoappunto di non definirla in qualche modo), non mi sembra correttissimo messa coem l'ha messa. Non mi sembra affatto vero che se ho f Coo e la composizione con la sua inversa Coo ciò implichi che l'inversa sia Coo. O sbaglio?
Scusa se ti disturbo ancora un ultima volta, però dato che avevo avuto la utile discussionecon te volevo chiederti una informazione riguardo il prosieguo del discorso del prof.
In particolare ha fatto un magheggio che non mi convince proprio per le cose che ci siamo detti,
ha preso una f $C^oo$ funzione A->B dove A è un sottoinsieme di R^2 aperto mentre B può essere la solita superficie in R3.
poi ha considerato $f^-1$
e ha detto dato che la composizione è $C^oo$ essendo l'identità e f è $C^oo$ allora $f^-1$ è $C^oo$.
Però dato che $f^-1$ va da B ad A con B che non è dominio su cui posso parlare di differenziabilità (a menoappunto di non definirla in qualche modo), non mi sembra correttissimo messa coem l'ha messa. Non mi sembra affatto vero che se ho f Coo e la composizione con la sua inversa Coo ciò implichi che l'inversa sia Coo. O sbaglio?
Se state facendo la funzioni differenziabili su superfici, avrete definito di sicuro la differenziabilità per funzioni tra superfici, e con ogni probabilità è la definizione con le parametrizzazioni, vai a ricontrollare.
Ad ogni modo non è vero che se la composizione di funzioni è $C^\infty$, allora lo sono anche le due funzioni, nemmeno se sai che la prima o la seconda lo sono. Non è vero nemmeno vero il caso particolare usato dal tuo professore, infatti non è proprio vero che l'inversa di una funzione $C^\infty$ invertibile sia $C^\infty$, pensa al caso semplice di $x^3$. Perchè sia vero la derivata deve essere diversa da $0$.
Ad ogni modo non è vero che se la composizione di funzioni è $C^\infty$, allora lo sono anche le due funzioni, nemmeno se sai che la prima o la seconda lo sono. Non è vero nemmeno vero il caso particolare usato dal tuo professore, infatti non è proprio vero che l'inversa di una funzione $C^\infty$ invertibile sia $C^\infty$, pensa al caso semplice di $x^3$. Perchè sia vero la derivata deve essere diversa da $0$.
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