Comportamento serie con parametro
Ciao a tutti. Non avendo a disposizione le soluzioni, avrei bisogno che qualcuno mi confermasse il risultato di questo esercizio 
$ \sum_{n=1}^{\infty} (cos(1/(n^a))-1+(1/(2n))) $
io ho separato $(1/(2n))$ dal resto.
La parte con $(1/(2n))$ diverge positivamente.
Poi ho studiato il primo pezzo con il criterio dell'asintotico.
Se il primo pezzo converge, le serie completa diverge. Se il primo pezzo diverge positivamente, la serie completa diverge positivamente (ma non accade mai), mentre se il primo pezzo diverge negativamente non posso affermare niente riguardo il comportamento della serie completa. E' giusto? (scusate se non ho messo per quali valori del parametro a succedono quelle cose).
$ \sum_{n=1}^{\infty} (cos(1/(n^a))-1+(1/(2n))) $
io ho separato $(1/(2n))$ dal resto.
La parte con $(1/(2n))$ diverge positivamente.
Poi ho studiato il primo pezzo con il criterio dell'asintotico.
Se il primo pezzo converge, le serie completa diverge. Se il primo pezzo diverge positivamente, la serie completa diverge positivamente (ma non accade mai), mentre se il primo pezzo diverge negativamente non posso affermare niente riguardo il comportamento della serie completa. E' giusto? (scusate se non ho messo per quali valori del parametro a succedono quelle cose).
Risposte
Ho notato che se a=(1/2) il primo pezzo annulla il secondo, che dite?
Ciao Barberofan,
Comincerei con l'osservare che la serie proposta non può convergere se $a \le 0 $ perché non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $. Pertanto la serie proposta può convergere solo se $a > 0 $
Si ha:
$ sum_{n=1}^{+\infty} [cos(1/(n^a))-1+(1/(2n))] = sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n} [1/2 - frac{1 - cos(1/(n^a))}{frac{1}{n}}] = sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n}[1/2 - frac{1 - cos(sqrt{1/n})^{2a}}{(sqrt{1/n})^2}] $
Quindi, ricorrendo allo sviluppo del coseno, mi viene da dire che la serie proposta può convergere, ed in effetti converge, solo se si cancella il termine noto $1/2 $ all'interno della parentesi quadra (altrimenti torna in ballo la serie armonica), il che accade per $2a = 1 \implies a = 1/2 $
Una serie in cui compariva lo stesso termine in coseno di quella qui proposta è stata risolta qui.
Comincerei con l'osservare che la serie proposta non può convergere se $a \le 0 $ perché non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $. Pertanto la serie proposta può convergere solo se $a > 0 $
Si ha:
$ sum_{n=1}^{+\infty} [cos(1/(n^a))-1+(1/(2n))] = sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n} [1/2 - frac{1 - cos(1/(n^a))}{frac{1}{n}}] = sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n}[1/2 - frac{1 - cos(sqrt{1/n})^{2a}}{(sqrt{1/n})^2}] $
Quindi, ricorrendo allo sviluppo del coseno, mi viene da dire che la serie proposta può convergere, ed in effetti converge, solo se si cancella il termine noto $1/2 $ all'interno della parentesi quadra (altrimenti torna in ballo la serie armonica), il che accade per $2a = 1 \implies a = 1/2 $
Una serie in cui compariva lo stesso termine in coseno di quella qui proposta è stata risolta qui.
Grazie mille. Già che ci sono suggerisco ai posteri un metodo più meccanico.
Applicate Taylor.
Dovreste ottenere
$ 1/(2n) - 1/(2n^(2a)) +1/(2n^(4a)) $
Per evitare che diverga dovete annullare quel $ 1/(2n)$. Questo avviene solo se $a=1/2$.
Applicate Taylor.
Dovreste ottenere
$ 1/(2n) - 1/(2n^(2a)) +1/(2n^(4a)) $
Per evitare che diverga dovete annullare quel $ 1/(2n)$. Questo avviene solo se $a=1/2$.
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