Comportamento integrale improprio

[essenza89]

Salve a tutti, ho un problema con un integrale improprio, devo studiare se converge, diverge o oscilla:
$\int_{0}^{infty} frac{log(1+sin^2(3x))}{2x(1+sqrt{x})}\dx $
allora, prima di tutto verifico che l'integrale è improprio solo in $infty$
$lim_{x \to \0} frac{log(1+sin^2(3x))}{2x(1+sqrt{x})} = lim_{x \to \0} frac{log(1+9x^2)}{2x(1+sqrt{x})}= lim_{x \to \0} frac{9x^2}{2x(1+sqrt{x})} = 0$
dopodichè controllo che la condizione necessaria (ma non sufficiente) alla convergenza dell'integrale sia rispettata, ovvero il limite ad infinito della funzione deve essere 0:
$lim_{x \to \infty} frac{log(1+sin^2(3x))}{2x(1+sqrt{x})} = 0$
quindi concludo che l'integrale PUò convergere, ora potrei applicare il criterio del confronto asintotico, confronto con l'infinitesimo $1/x^alpha$:
$ lim_{x \to \infty} frac{frac{log(1+sin^2(3x))}{2x(1+sqrt{x})}}{1/x^alpha} = lim_{x \to \infty}frac{log(1+sin^2(3x))}{2x(1+sqrt{x})} x^alpha$
e devo trovare $alpha$ in modo che questo limite faccia uno...
è giusto?e se sì, da qui come procedo? non riesco a fare questo limite..
ci sono modi più veloci?
grazie in anticipo!

[ciampax]

Per prima cosa, secondo me per quanto riguarda il comportamento in $x=0$ non puoi uscirtene con tanta semplicità.
Per il limite ad infinito, invece, direi che la cosa più intelligente è porre $x=1/t$ in modo da trasformarlo in un limite per $t\to 0^+$.

EDIT: ah no, in zero hai fatto vedere praticamente che la funzione è equivalente a $x$ per cui va bene.

[Paolo902]

"essenza89": dopodichè controllo che la condizione necessaria (ma non sufficiente) alla convergenza dell'integrale sia rispettata, ovvero il limite ad infinito della funzione deve essere 0

Occhio che questo è falso, la condizione non è né necessaria né sufficiente.
Controesempio: $int_0^\infty cos(t^2)dt = \sqrt{2pi}/4$.

La condizione è necessaria se aggiungiamo l'ipotesi che il limite dell'integranda esista.