Comportamento di una successione

[baka1]

Ciao
ho un problema con il fattoriale perchè non riesco a capire per quale motivo $((2n)!)/(n!)^2$ diverge a più infinito
infatti se $n^2$ è un infinito di ordine superiore rispetto ad $n$ per $nrarroo$
allora $n^2!$ sarà un infinito di ordine superiore rispetto ad $n!$
e quindi $((2n)!)/(n!)^2$ dovrebbe convergere a zero e invece no, perchè ?

[_luca.barletta]

$((2n)!)/(n!)^2=(2n(2n-1)(2n-2)...(n+1))/(n!)=(2n(2n-1)(2n-2)...(n+1))/(n(n-1)(n-2)*...*1)$

riesci a vederlo ora?

[baka1]

Forse ho capito ma non ne sono sicuro,

tu hai semplificato il quadrato del denominatore con i restanti prodotti del numeratore
e quindi sarebbe come $((2n)!)/(n!)$

adesso questa diverge perchè $(2n)!$ è il doppio di $n!$, giusto ?

[_luca.barletta]

sarebbe meglio dire che ha il doppio dei termini, comunque quello che ho scritto io non è quello che hai scritto tu

[Sk_Anonymous]

Per ogni $n \in NN^+$: [1] $\frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{2^n (2n-1)!!}{n!}$, dove $(2n-1)!!$ denota il doppio fattoriale di $(2n-1)$, cioè il prodotto dei dispari interi positivi $\le (2n-1)$. Supposto $\frac{(2n-1)!!}{n!} \ge 1$, per qualche $n \in NN^+$, vale $\frac{(2n+1)!!}{(n+1)!} \ge \frac{2n+1}{n+1} > 1$. Poiché $\frac{(2\cdot 1 - 1)!!}{1!} \ge 1$, tanto basta per concludere (per induzione) che $\frac{(2n-1)!!}{n!} \ge 1$, per ogni $n \in NN^+$, e perciò $\frac{(2n)!}{(n!)^2} \ge 2^n$, in vista della [1]. Dunque, per confronto, il tuo limite vale $+\infty$.

EDIT: un 2^n di troppo!

[baka1]

Scusate se non ho ancora capito,
adesso forse ci sono, $((2n)!)/((n!)^2) = (2n*(n - 1)*(n - 2)...(n + 1)*n!)/(n!*n!)$ hai semplificato $n!$ altrimenti come fa a sparire il quadrato,
dopodichè $((2n)!)/(n!)$ era completamente sbagliato, adesso però posso usare il teorema del confronto come ha fatto David
$(2n)/n*(2n - 1)/(n - 1)*(2n - 2)/(n - 2)...(n + 1)/1$ considerando l'ultimo prodotto
potrei dire che ho trovato una successione minore di quella di partenza che tende ad infinito
e quindi questa deve per forza divergere, adesso è giusto ?

Ho un problema anche con questa $((n), (3))*6/(n^3)$ non dovrebbe essere $(n*(n - 1)*(n - 2)*(n - 3)*(n - 4))/(3!)*6/(n^3) = +oo$ ?

[_luca.barletta]

per la prima ok hai messo a posto l'errore che facevi.
Per la seconda c'è ancora un errore:
$((n),(3))*6/n^3=(n!)/(3!(n-3)!)*6/n^3=(n(n-1)(n-2))/n^3$

[baka1]

Grazie per la pazienza,
comunque $((n), (k))$ non è definito come $(n*(n - 1)*(n - 2)*(n - 3)*(n - k + 1))/(3!)$ in questo caso $n - k + 1 = n - 4$
per il resto va bene, come sritta da te la successione converge ad $1$

[_luca.barletta]

$n-k+1=n-3+1=n-2$ ok?

[baka1]

Ok, scusa