Comportamento di una serie con il metodo del rapporto
Ho un esercizio in cui devo studiare il comportamento di una serie.
Ho deciso di utilizzare il Criterio del Rapporto, in quanto nella serie è presente un termine fattoriale. Sapendo che quest'ultimo(n!), si trasforma nel criterio del rapporto in n(n+1)
tuttavia ho al denominatore un (n+3)! che non so come trasformarlo. Allego un immagine con le ipotesi che ho sviluppato,ma non so se siano effettivamente corrette.
Grazie per l'attenzione, spero di essere stata abbastanza chiara.
Ho deciso di utilizzare il Criterio del Rapporto, in quanto nella serie è presente un termine fattoriale. Sapendo che quest'ultimo(n!), si trasforma nel criterio del rapporto in n(n+1)tuttavia ho al denominatore un (n+3)! che non so come trasformarlo. Allego un immagine con le ipotesi che ho sviluppato,ma non so se siano effettivamente corrette.
Grazie per l'attenzione, spero di essere stata abbastanza chiara.
Risposte
Ciao, allora procediamo con ordine:
- La serie è chiaramente a termini positivi
- $ lim_(x->oo) (n+3^n)/((n+3)!) = 0 $ Quindi la condizione necessaria è soddisfatta e possiamo procedere
- Utilizziamo il criterio del rapporto, quindi troviamoci prima $ a_(n+1)/a_n= ((((n+1)+3^(n+1))/((n+4)!))/((n+3^n)/((n+3)!)))= ((n+1+3^(n+1))(n+3)!)/((n+3^n)(n+4)!)=((n+1+3^(n+1))(n+3)(n+2)(n+1)n!)/((n+3^n)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n! )= (n+1+3^(n+1))/((n+3^n)(n+4)$
Procediamo con il calcolo del limite:
$ lim_(n->+oo) ((n+1+3^(n+1))/((n+3^n)(n+4)))= lim_(n->+oo) ((n+1+3^(n+1))/(n^2+4n+n3^n+4*3^n))$
Procediamo per asintoticità, quindi per $ n->+oo $ possiamo scrivere:
$((n+1+3^(n+1))/(n^2+4n+n3^n+4*3^n))~ (3^(n+1))/(n3^n)=(3^n*3)/(n3^n)=3/n$
E infine:
$ lim_(n->+oo) 1/n=0 $
Quindi per il confronto asintotico: $lim_(n->+oo) ((n+1+3^(n+1))/(n^2+4n+n3^n+4*3^n))=0$
E per il criterio del confronto $0<1$ quindi la serie converge!
Spero di esserti stato di aiuto!
- La serie è chiaramente a termini positivi
- $ lim_(x->oo) (n+3^n)/((n+3)!) = 0 $ Quindi la condizione necessaria è soddisfatta e possiamo procedere
- Utilizziamo il criterio del rapporto, quindi troviamoci prima $ a_(n+1)/a_n= ((((n+1)+3^(n+1))/((n+4)!))/((n+3^n)/((n+3)!)))= ((n+1+3^(n+1))(n+3)!)/((n+3^n)(n+4)!)=((n+1+3^(n+1))(n+3)(n+2)(n+1)n!)/((n+3^n)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n! )= (n+1+3^(n+1))/((n+3^n)(n+4)$
Procediamo con il calcolo del limite:
$ lim_(n->+oo) ((n+1+3^(n+1))/((n+3^n)(n+4)))= lim_(n->+oo) ((n+1+3^(n+1))/(n^2+4n+n3^n+4*3^n))$
Procediamo per asintoticità, quindi per $ n->+oo $ possiamo scrivere:
$((n+1+3^(n+1))/(n^2+4n+n3^n+4*3^n))~ (3^(n+1))/(n3^n)=(3^n*3)/(n3^n)=3/n$
E infine:
$ lim_(n->+oo) 1/n=0 $
Quindi per il confronto asintotico: $lim_(n->+oo) ((n+1+3^(n+1))/(n^2+4n+n3^n+4*3^n))=0$
E per il criterio del confronto $0<1$ quindi la serie converge!
Spero di esserti stato di aiuto!
"TeM":
Immagino che tu intenda \(n \to +\infty\), ma a parte questo se si decide di mostrare che la condizione
necessaria (e non sufficiente) per la convergenza è soddisfatta occorre giustificare i passaggi.
Il limite mi sembra piuttosto semplice e, visto che la domanda verteva su altro, ho preferito non marcarci troppo sopra.
"TeM":
Non vi è alcun motivo di sviluppare i fattoriali per esteso, bensì è sufficiente fare come ho mostrato sopra.
Visto che l'utente ha mostrato i suoi dubbi sulla scomposizione di un fattoriale ho ritenuto opportuno svilupparlo per intero.
"TeM":
Anche qua, sviluppare tutto rende la risoluzione molto intricata invece che più comprensibile.
Anche qui ho ritenuto opportuno procedere passo passo, esplicitando tutto per rendere evidenti tutti i passaggi, visto che quando qualcuno chiede aiuto di solito si aspetta una spiegazione non concisa (almeno per quanto mi riguarda).
"TeM":
Morale: sono molto apprezzati gli aiuti, ma si dovrebbe cercare di darli in maniera
chiara, altrimenti si rischia di creare confusione in testa di chi pone la domanda.
Alla luce del tuo commento non mi è sembrato affatto gradito il mio aiuto, anzi superfluo.
E ripeto, chi cerca aiuto cerca una spiegazione dettagliata ed io ho cercato di essere il più completo possibile.
Spero che la mia risposta sarà utile a vsvale007, niente di più.
Vi ringrazio entrambi per il prezioso aiuto.
E in merito alla discussione nata mi sento di dare un consiglio, generalmente rivolto a tutto il forum, anche se pochi lo leggeranno.
Chi si rivolge a voi, sono per la maggior parte studenti che hanno abbondantemente frequentato già delle lezioni rigorose di analisi e che non hanno bisogno di ulteriori nozioni teoriche.Molti professori trattano questa materia al pari di una umanistica, lasciando noi poveri studenti con una mole di studio considerevole e senza alcuna nozione puramente tecnica su come affrontare gli esercizi.
Mi è capitato su questo forum trovare spesso risposte che enunciavano teoremi senza portare a nulla di concreto,ciò che invece chiedevano di fatto gli utenti.
Uno dei problemi principali nell'affrontare questa materia è proprio il "tradurre" i teoremi in atti pratici. Ora ognuno può pensarla come vuole, ma questa è la mia opinione.
Vi ringrazio ancora.
E in merito alla discussione nata mi sento di dare un consiglio, generalmente rivolto a tutto il forum, anche se pochi lo leggeranno.
Chi si rivolge a voi, sono per la maggior parte studenti che hanno abbondantemente frequentato già delle lezioni rigorose di analisi e che non hanno bisogno di ulteriori nozioni teoriche.Molti professori trattano questa materia al pari di una umanistica, lasciando noi poveri studenti con una mole di studio considerevole e senza alcuna nozione puramente tecnica su come affrontare gli esercizi.
Mi è capitato su questo forum trovare spesso risposte che enunciavano teoremi senza portare a nulla di concreto,ciò che invece chiedevano di fatto gli utenti.
Uno dei problemi principali nell'affrontare questa materia è proprio il "tradurre" i teoremi in atti pratici. Ora ognuno può pensarla come vuole, ma questa è la mia opinione.
Vi ringrazio ancora.
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